[論文レビュー] Existence results to a nonlinear p(k)-Laplacian difference equation

Mohsen Khaleghi Moghadam, Mustafa Avcı|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、変数指数および重み関数を有する離散的異方性p(k)-ラプラシアン差分方程式のディリクレ境界値問題に対して、変分法を用いて非自明解の存在を確立する。ボナンノの2つの局所最小定理を応用することで、少なくとも1つの非自明な弱解が存在するパラメータλの明示的区間を導出し、追加の条件下では少なくとも3つの異なる解が保証されることを示す。

ABSTRACT

In the present paper, by using variational method, the existence of non-trivial solutions to an anisotropic discrete non-linear problem involving p(k)-Laplacian operator with Dirichlet boundary condition is investigated. The main technical tools applied here are the two local minimum theorems for differentiable functionals given by Bonanno.

研究の動機と目的

• 変数指数および重み関数を有する離散的異方性p(k)-ラプラシアン境界値問題の非自明解の存在を調査すること。
• p(k)-ラプラシアン作用素を用いて、非一様成長条件を有する離散問題への変分法の拡張を図ること。
• 少なくとも1つまたは3つの異なる弱解を有する問題のためのパラメータλの正確な区間を特定すること。
• 強制性およびコンパクト性の議論を通じて、非線形関数f(k, u)に対して解の存在を保証する十分条件を提供すること。
• 具体的な例を通じて理論的結果を提示し、解の区間の数値的検証を実施すること。

提案手法

• 問題は、変数指数および重み関数w(k)とq(k)を有するp(k)-ラプラシアン作用素を含む離散的境界値問題として定式化される。
• 変分法が用いられ、反射的バナッハ空間W上でIλ = Φ - λΨという汎関数が定義される。ここでΦは強制的かつ弱下準連続であり、ΨはC^1のゲートー微分可能性をもち、コンパクトな導関数を有する。
• ボナンノの2つの局所最小定理（定理2.1および定理2.2）が適用され、Iλの臨界点（弱解に対応）の存在が確立される。
• 汎関数Φはp(k)-ラプラシアンエネルギー項とw(k)およびq(k)を含むポテンシャル項から構成され、Ψは非線形関数f(k, u)の原始関数から導かれる。
• 条件α⁺ < p⁻の下でIλの強制性が証明され、関連する汎関数空間内にグローバル最小解が存在することが保証される。
• Iλの強制性は、f(k, u)の劣臨界成長、具体的には∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²)およびα⁺ < p⁻の下で成立する。
• 具体的な区間は、特定の下位集合上でのΨおよびΦの下界と上界を用いて導出され、解の存在基準が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ境界条件を有する離散的p(k)-ラプラシアン問題が、パラメータλのどの値に対して少なくとも1つの非自明な弱解を有するか。
• RQ2 非線形関数f(k, u)および変数指数p(k)にどのような条件下で、複数（少なくとも3つ）の異なる弱解が保証されるか。
• RQ3 変数重み関数w(k)およびq(k)、および指数p(k)が解の存在および多重性にどのように影響するか。
• RQ4 変分法および臨界点論を用いて、解の存在を保証するλの明示的区間を導出できるか。
• RQ5 成長条件∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²)が、問題の解の存在を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• λ ∈ ]7.469883186×10⁻¹⁷, ∞[ の場合、例3.10で確認されたように、少なくとも1つの非自明な弱解が存在する。
• λ ∈ ]7.469883186×10⁻¹⁷, 4.791870305×10⁻¹⁴[ の場合、定理3.9および例3.10で示されるように、少なくとも3つの異なる弱解が存在する。
• 解の存在は、α⁺ < p⁻の条件下で保証され、これは汎関数Iλの強制性を保証する。
• f(k, u)の劣臨界成長、具体的には∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²)およびα⁺ < p⁻の下で、Iλは強制的である。
• λの区間Λₖは、下位集合上でのΨおよびΦの上界と下界を用いて明示的に計算され、Λₖ = ]1/ρ₁(r₁,r₂), 1/β(r₁,r₂)[ と表される。
• 例3.10において、T=10、p(k)= (2/11)k + 3、w(k)=e^{k(10−k)²}、q(k)=2ᵏ、f(k,x) = e^{(k+2)(k−13)}x/(x²+10⁻¹¹)²のとき、条件F1およびF5が満たされ、理論的結果が数値的に妥当化される。