[論文レビュー] Existence theorems in linear chaos

Stanislav Shkarin|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、さまざまな位相的ベクトル空間におけるカオス的線形力学の存在定理を確立し、可分なバナッハ空間およびフレシェ空間の可算な帰納的極限が、超巡回的または混合的作用素を支持する条件を同定する。特に、可分な無限次元複素フレシェ空間が非混合的超巡回的作用素をもつことと、それが $ω$（座標ごとの収束を伴う列の空間）に同型でないことは同値であり、$ω$ 上の強い連続半群がスーパー巡回的になれないことを示している。この研究はサラスの超巡回的摂動に関する定理を拡張し、広範なクラスのフレシェ空間における双対超巡回性を同定する。

ABSTRACT

Chaotic linear dynamics deals primarily with various topological ergodic properties of semigroups of continuous linear operators acting on a topological vector space. We treat questions of characterizing which of the spaces from a given class support a semigroup of prescribed shape satisfying a given topological ergodic property. In particular, we characterize countable inductive limits of separable Banach spaces that admit a hypercyclic operator, show that there is a non-mixing hypercyclic operator on a separable infinite dimensional complex Fréchet space $X$ if and only if $X$ is non-isomorphic to the space $ω$ of all sequences with coordinatewise convergence topology. It is also shown for any $k\in\N$, any separable infinite dimensional Fréchet space $X$ non-isomorphic to $ω$ admits a mixing uniformly continuous group $\{T_t\}_{t\in C^n}$ of continuous linear operators and that there is no supercyclic strongly continuous operator semigroup $\{T_t\}_{t\geq 0}$ on $ω$. We specify a wide class of Fréchet spaces $X$, including all infinite dimensional Banach spaces with separable dual, such that there is a hypercyclic operator $T$ on $X$ for which the dual operator $T'$ is also hypercyclic. An extension of the Salas theorem on hypercyclicity of a perturbation of the identity by adding a backward weighted shift is presented and its various applications are outlined.

研究の動機と目的

• 指定された位相的混合性の性質（例えば超巡回性や混合性）をもつ半群を支持する位相的ベクトル空間を同定すること。
• 可分な無限次元フレシェ空間が非混合的超巡回的作用素をもつための構造的条件を特定すること。
• $\omega$ などの特定の関数空間上での混合的かつ連続な群およびスーパー巡回的半群の存在を調査すること。
• 後退シフトによる単位作用素の摂動の超巡回性に関するサラスの定理を、より広い空間のクラスに拡張すること。
• フレシェ空間上で作用素 $T$ とその双対 $T'$ が両方とも超巡回的である条件を同定すること、特に双対が可分である空間において。

提案手法

• ネストされた可分バナッハ空間の系列の和として構成される空間を解析するために帰納的極限位相の利用。
• フレシェ空間における超巡回性およびスーパー巡回性を研究するために双対理論および弱位相の応用。
• カオス的力学を構成するモデル作用素として、重み付きシフト作用素（特に両側および後退シフト）の使用。
• 対称性および等長的同型の議論を用いて、対称的重みのもとで実巡回性および弱スーパー巡回性が排除されることの証明。
• メキシ・アレンの定理および強い・弱い位相を用いて双対空間の挙動と作用素の性質を解析。
• 不規則な重み列を用いて、サラスの定理（$I + T_w$ の超巡回性）を一般フレシェ空間へ拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分バナッハ空間の可算な帰納的極限として得られる空間に、超巡回的作用素が存在するのはどのような場合か？
• RQ2 可分な無限次元フレシェ空間 $X$ が非混合的超巡回的作用素をもつのはいつか？また、$X$ が $ω$ に同型でない役割は何か？
• RQ3 $ω$ 上の強い連続半群 $\{T_t\}_{t \geq 0}$ がスーパー巡回的になれるか？なぜならないのか？
• RQ4 フレシェ空間 $X$ に対して、$T$ とその双対 $T'$ が両方とも超巡回的であるための条件は何か？
• RQ5 $I + T_w$ の超巡回性またはスーパー巡回性は、$\ell_p(\mathbb{Z})$ 上で $p$ に依存するか？

主な発見

• 可分バナッハ空間の可算な帰納的極限は、$ω$ に同型でない場合に限り、超巡回的作用素をもつ。
• 可分な無限次元複素フレシェ空間 $X$ に非混合的超巡回的作用素が存在するための必要十分条件は、$X$ が $ω$ に同型でないことである。
• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、$ω$ に同型でない任意の可分な無限次元フレシェ空間 $X$ は、連続線形作用素からなる混合的かつ連続な群 $\{T_t\}_{t \in \mathbb{C}^k}$ をもつ。
• $\omega$、すなわち座標ごとの収束を伴うすべての列の空間上には、スーパー巡回的である強い連続作用素半群 $\{T_t\}_{t \geq 0}$ は存在しない。
• 任意の双対が可分である無限次元バナッハ空間に対して、その上に作用する超巡回的作用素 $T$ が存在し、その双対 $T'$ もまた超巡回的である。
• サラスの定理の拡張が成立する：任意の正の列 $a$ に対して $|w_n| \leq a_{|n|}$ を満たす重み列 $w$ に対し、$I + T_w$ は $\ell_2(\mathbb{Z})$ 上で超巡回的である。