[論文レビュー] Existence theory for a kinetic-fluid coupling when small droplets are treated as part of the fluid

S Benjelloun, Laurent Desvillettes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 23被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、破断によって生じる微小な液滴を個別の粒子としてではなく、流体相の一部として扱う簡略化された運動論的・流体結合モデルに対して、グローバル弱解の存在を確立する。著者らは、液滴サイズがゼロに近づく極限において、元の運動論的・流体系が、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と、流体に巻き込まれた液滴を記述するヴァラス・ボルツマン型方程式によって支配される簡略化された系に収束することを示し、特異な輸送方程式に対するDiPerna-Lions理論を用いてこの近似を厳密に正当化する。

ABSTRACT

We consider in this paper a spray constituted of an incompressible viscous gas and of small droplets which can breakup. This spray is modeled by the coupling (through a drag force term) of the incom- pressible Navier-Stokes equation and of the Vlasov-Boltzmann equation, together with a fragmentation kernel. We first show at the formal level that if the droplets are very small after the breakup, then the solutions of this system converge towards the solution of a simplified system in which the small droplets produced by the breakup are treated as part of the fluid. Then, existence of global weak solutions for this last system is shown to hold, thanks to the use of the DiPerna-Lions theory for singular transport equations.

研究の動機と目的

• 破断によって生じる非常に小さな液滴を、運動論的・流体スプレーモデルにおける流体相の一部として扱う数学的近似を正当化すること。
• 液滴サイズがゼロに近づく極限における、元の運動論的・流体系の形式的漸近的極限を分析すること。
• 微小な液滴が流体相に統合された簡略化された系におけるグローバル弱解の存在を確立すること。
• 微小な液滴を追跡する計算コストを低減することで、数値シミュレーションのための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ガスの非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と、液滴分布のためのヴァラス・ボルツマン方程式を、ストークスの法則による抗力項を介して結合するモデルを構築する。
• 液滴の破断を記述するための断片化カーネルを導入し、液滴半径を2種類に限定：r₁ > r₂、ただしr₂は小さい。
• 形式的に、r₂ → 0 となる極限において、元の運動論的・流体系の解が、微小な液滴が流体相に吸収されたとみなされる簡略化された系の解に収束することを示す。
• 特異な輸送方程式に対するDiPerna-Lions理論を用いて、簡略化された系におけるグローバル弱解の存在を証明する。
• 液滴サイズがゼロに近づく極限における近似解の収束を扱うために、コンパクト性の議論と交差項推定を適用する。
• 正則化および弱収束技術を用いて、抗力項および断片化に起因する非線形性と特異性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小な液滴を含む運動論的・流体系の解が、これらの液滴が流体相の一部として扱われる系に収束する条件は何か？
• RQ2 簡略化された流体-液滴結合モデルに対して、グローバル弱解の存在を確立できるか？
• RQ3 液滴半径r₂がゼロに近づく際、系の漸近的挙動はどのように変化するか？
• RQ4 微小な液滴の極限において、特異な輸送項および結合項を扱うために必要な数学的道具は何か？
• RQ5 物理的忠実性を損なわずに、微小な液滴を流体相に統合することで、そのシミュレーションにかかる計算コストをどの程度低減できるか？

主な発見

• 著者らは、液滴サイズがゼロに近づく極限において、元の運動論的・流体系の解が、微小な液滴が流体相の一部として扱われる簡略化された系の解に収束することを証明した。
• 特異な輸送方程式に対するDiPerna-Lions理論を用いて、簡略化された系におけるグローバル弱解の存在が確立された。
• 抗力項および断片化カーネルの漸近的挙動を分析することにより、収束が形式的に正当化された。
• 証明は、コンパクト性および弱収束技術（交差項推定およびモリファイアによる正則化を含む）に依拠している。
• 簡略化された系は、微小な液滴を粒子ベースで追跡する高コストな手法を回避しつつ、本質的な物理を保持している。
• 本研究の結果は、肺内スプレー輸送などの応用分野において、微小な液滴を流体相に統合する数値モデルのための厳密な数学的基盤を提供する。