[論文レビュー] Existence, uniqueness and ergodic properties for time-homogeneous It\^o-SDEs with locally integrable drifts and Sobolev diffusion coefficients

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

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ひとこと要約

この論文は、局所可積分なドリフトとソボレフ型拡散係数をもつ時刻一様イトウ型SDEに対して、Lp空間における楕円型および放物型正則性理論とディリクレ形式理論を用いて、経路的一意性および強解の存在を確立する。最小限の仮定—ドリフトがLp_loc(Rd)に属し、拡散係数がp > dに対してH^1,p_loc(Rd)に属する—のもとで、非可約性、L1 + L∞およびLq + L∞（q = dp/(d+p)）における強Feller性、モーメント不等式、爆発回避の基準、および不変確率測度の存在・一意性を証明する。

ABSTRACT

Using elliptic and parabolic regularity results in $L^p$-spaces and generalized Dirichlet form theory, we construct for every starting point weak solutions to SDEs in $\mathbb{R}^d$ up to their explosion times including the following conditions. For arbitrary but fixed $p>d$ the diffusion coefficient $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le d}$ is locally uniformly strictly elliptic with functions $a_{ij}\in H^{1,p}_{loc}(\mathbb{R}^d)$ and the drift coefficient $\mathbf{G}=(g_1,\dots, g_d)$ consists of functions $g_i\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^d)$. The solution originates by construction from a Hunt process with continuous sample paths on the one-point compactification of $\mathbb{R}^d$ and the corresponding SDE is by a known local well-posedness result pathwise unique up to an explosion time. Just under the given assumptions we show irreducibility and the strong Feller property on $L^{1}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$ of its transition function, and the strong Feller property on $L^{q}(\mathbb{R}^d,m)+L^{\infty}(\mathbb{R}^d,m)$, $q=\frac{dp}{d+p}\in (d/2,p/2)$, of its resolvent, which both include the classical strong Feller property. We present moment inequalities and classical-like non-explosion criteria for the solution which lead to pathwise uniqueness results up to infinity under presumably optimal general non-explosion conditions. We further present explicit conditions for recurrence and ergodicity, including existence as well as uniqueness of invariant probability measures.

研究の動機と目的

• 時間一様イトウ型SDEに対して、ドリフトおよび拡散係数の正則性を最小限に抑えた仮定のもとで、経路的一意性および強解の存在を確立すること。
• 非コンパクトな状態空間および有界でない係数を含む弱い条件下でも、遷移半群の強Feller性および非可約性を証明すること。
• 局所可積分なドリフトおよびH^1,p_loc拡散係数（p > d）をもつSDEに対して、明示的な爆発回避、再帰性、エルゴード性の基準を導出すること。
• 不変確率測度の候補を構成し、明示的な条件下でその存在および一意性を確立すること。
• 特に非有界で特異なドリフトに対して、係数に関する制限的なグローバル有界性またはリプシッツ条件を除去することで、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• SDE生成作用素に関連する二階楕円型作用素に対するLp空間における楕円型および放物型正則性理論を用いる。
• 一般化されたディリクレ形式理論を適用して、Rdの一点コンパクト化上での連続サンプルパスをもつハント過程を構成する。
• L1(Rd, m) + L∞(Rd)およびLq(Rd, m) + L∞(Rd)（q = dp/(d+p)）における再生作用素および遷移半群を用いて、強Feller性を確立する。
• ドリフトおよび拡散係数の積分可能性条件と、リャプノフ型関数を用いて、モーメント不等式および爆発回避基準を導出する。
• 弱解の構成および既知の局所的well-posedness結果を活用し、強Feller性および非可約性の性質を応用して、経路的一意性を確立する。
• 一般化されたディリクレ形式理論を適用して、不変測度の存在を導出し、再帰性およびエルゴード性の条件下でその一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトおよび拡散係数に最小限の正則性条件を課した場合、時刻一様イトウ型SDEはどのような条件下で経路的一意な強解をもつか？
• RQ2 有界でない、局所可積分な係数をもつSDEに対して、遷移半群の強Feller性および非可約性を保証する条件は何か？
• RQ3 局所可積分なドリフトおよびH^1,p_loc拡散係数（p > d）をもつSDEに対して、明示的な爆発回避基準を導出可能か？
• RQ4 再帰性およびエルゴード性のための十分条件、ならびに不変確率測度の存在および一意性のための条件は何か？
• RQ5 モーメント不等式およびリャプノフ型関数は、グローバルリプシッツ性や有界性の仮定がない状況での爆発回避および長期挙動解析にどのように寄与するか？

主な発見

• ドリフトG ∈ Lp_loc(Rd)および拡散係数aij ∈ H^1,p_loc(Rd)（p > d）をもつSDEに対して、爆発時刻まで経路的一意な強解が存在し、爆発がない条件のもとでは、時間全域にわたり存在する。
• 遷移半群(Pt)t>0はL1(Rd, m) + L∞(Rd)で強Feller性を満たし、q = dp/(d+p) ∈ (d/2, p/2)を満たすLq(Rd, m) + L∞(Rd)における再生作用素も強Feller性を満たす。これは古典的な強Feller性を意味する。
• 同じ条件下で半群の非可約性が確立され、その結果、初期点から任意の開集合へ到達可能であることが保証される。
• 爆発回避の明示的基準が導出され、Ld+1(Rd)関数と対数項を含む成長条件が含まれており、線形成長および特異性を許容する。
• 測度mの候補を構成し、再帰性およびエルゴード性の条件下で不変確率測度の存在および一意性を証明する。
• 解の成長を制御するモーメント不等式が導出され、爆発回避および長期挙動解析を支援する。