[論文レビュー] Existence, Uniqueness and Homogenization of Nonlinear Parabolic Problems with Dynamical Boundary Conditions in Perforated Media

María Anguiano|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、周期的に穿孔された領域における非線形放物型方程式の動的境界条件を満たす解の存在および一意性を確立する。均質化技法を用いて、均質領域上の極限問題を導出し、境界力学に起因する追加項が有効方程式に含まれることを示し、2スケール収束およびエネルギー法を用いて収束を証明する。

ABSTRACT

We consider a nonlinear parabolic problem with nonlinear dynamical boundary conditions of pure-reactive type in a media perforated by periodically distributed holes of size 
 . The novelty of our work is to consider a nonlinear model where the nonlinearity also appears in the boundary. The existence and uniqueness of solution is analyzed. Moreover, passing to the limit when 
 goes to zero, a new nonlinear parabolic problem defined on a unified domain without holes with zero Dirichlet boundary condition and with extra terms coming from the influence of the nonlinear dynamical boundary conditions is rigorously derived.

研究の動機と目的

• 周期的に穿孔された領域における非線形放物型問題の解の存在および一意性を解析すること。
• 穴の大きさ ε → 0 のときの解の漸近的挙動を調査すること。
• 穴が存在しない場合の均質化極限問題を、動的境界条件の影響を考慮して厳密に導出すること。
• 非線形性が体積内および境界上に存在する非線形放物型系に対する均質化理論を拡張すること、これは既存の文献におけるギャップである。

提案手法

• 有界領域 Ω における周期的な穴の表面に非線形放物型問題と動的境界条件を定式化する。
• エネルギー法および2スケール収束を用いて、穴の大きさ ε → 0 の極限を分析する。
• 重み付きトレース推定およびコンパクト性の議論を用いて、弱化形式における極限への渡りを実現する。
• フラックスおよび境界項の極限を特定することで、均質化方程式を導出する。ここに体積分率 |Y*|/|Y| および表面積 |∂F|/|Y| が含まれる。
• 一様な事前推定を用いて、解列 uε が L²(0,T;H¹₀(Ω)) および Lp(0,T;Lp(Ω)) において弱収束するように、弱極限 u に収束することを確立する。
• 細胞問題の解を用いて有効拡散テンソル Q を特定し、元のラプラシアンが極限方程式で修正された係数に置き換わることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴の大きさ ε → 0 のとき、周期的穴を持つ非線形放物型PDEの解の漸近的挙動は何か？
• RQ2 穴における動的境界条件は、均質化極限における系のマクロな挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 線形または確率的設定を超えて、体積内および境界上に非線形性を有する場合の均質化問題を厳密に導出できるか？
• RQ4 有効方程式の構造は何か？また、穴に起因する体積および表面寄与項は極限においてどのように現れるか？
• RQ5 解列 uε が適切な関数空間において強い収束を示すための条件は何か？

主な発見

• f, g およびデータに関する与えられた仮定の下で、元の問題の解 uε は存在し、一意的である。
• ε → 0 のとき、解 uε は L²(0,T;H¹₀(Ω)) および Lp(0,T;Lp(Ω)) において弱極限 u に収束する。ここで p は提示された成長条件を満たす。
• 均質化問題は、元の領域 Ω における非線形放物型方程式であり、ゼロディリクレ境界条件を満たし、有効時間微分係数 (|Y*| + |∂F|)/|Y| を有する。
• 有効方程式には追加項が含まれる：体積内では |Y*|/|Y| f(u)、境界上では |∂F|/|Y| g(u) であり、これらは動的境界条件に起因する。
• 有効拡散テンソル Q は細胞問題の解から得られ、極限方程式で元のラプラシアンに置き換わる。
• 収束は2スケール収束およびコンパクト性を用いて確立され、極限は有効係数を含む弱化形式を満たす。