[論文レビュー] Existence, uniqueness, and numerical approximations for stochastic Burgers equations

Mazzonetto, Sara, Salimova, Diyora|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間時間白色ノイズを伴う確率的バーガース方程式に対する存在性、一意性、空間的正則性、および数値近似の強い収束性を統合的に取り扱うワンストップフレームワークを確立する。完全に明示的な空間時間離散化スキームを用い、パスごとの事前推定を導出することで、著者らは ̺ ∈ (1/8, 1/4) の範囲で H̺ において弱解へ almost sure かつ強い収束を証明し、先行研究を拡張する形で収束保証と空間的正則性解析を改善した。

ABSTRACT

In this paper we propose an all-in-one statement which includes existence, uniqueness, regularity, and numerical approximations of mild solutions for a class of stochastic partial differential equations (SPDEs) with non-globally monotone nonlinearities. The proof of this result exploits the properties of an existent fully explicit space-time discrete approximation scheme and, in particular, the fact that it satisfies suitable a priori estimates. As a byproduct we obtain almost sure and strong convergence of the approximation scheme to the mild solutions of the considered SPDEs. We conclude by applying the main result of the paper to the stochastic Burgers equations with space-time white noise.

研究の動機と目的

• 非グローバルに単調でない非線形項を有するSPDEに対する、存在性、一意性、空間的正則性、数値近似の収束性を統合的に確立するフレームワークを構築すること。
• バーガース方程式のような非線形項が超線形的に増大するSPDEの数値スキームにおいて、強い収束およびほとんど確実収束の課題を扱うこと。
• 近似スキームに対するパスごとの事前推定を証明することで既存の結果を拡張し、H̺ において ̺ ∈ (1/8, 1/4) の範囲で解の正則性を保証すること。
• 抽象的フレームワークを空間時間白色ノイズによって駆動されるバーガース方程式に適用し、適切な正則性空間内での弱解の存在と一意性を確認すること。

提案手法

• 本手法は、非線形項が超線形的に増大するSPDEに対して、非線形項を切り詰めた完全に明示的な空間時間離散化スキーム（加速型指数Euler型スキーム）を採用する。
• Jentzenら [2019, Corollary 2.6] の結果と、Jentzenら [2018, Corollary 8.4] のバナッハ空間値関数の発展方程式理論を用いて、近似過程に対するパスごとの事前推定を導出する。
• スキームが非爆発性を保証し、解が H̺ に値をとることを保証する適切な事前バウンドを満たすことが示され、これは空間的正則性を意味する。
• 収束解析は、Jentzenら [2019, Theorem 3.5] の強い収束結果に基づくが、非線形項に追加の正則性条件（不等式 (3.1)）を課す。
• H = L²((0,1); ℝ)、A = ディリクレ境界条件を伴うラプラシアン作用素、F(v) = c₁v² の設定において、抽象的条件の検証を通じてバーガース方程式にフレームワークを適用する。
• 証明ではスペクトル分解と補間空間 Hr を用いた推定を用い、特に r > 3/4 の範囲で ∥F(v)∥H−γ を ∥v∥²H で上から抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意な弱解に対する存在性、一意性、空間的正則性、収束性を同時に確立できる統一的フレームワークは構築可能か？
• RQ2 完全に明示的な空間時間離散化スキームは、空間時間白色ノイズを伴うバーガース方程式の弱解へほとんど確実かつ強く収束するか？
• RQ3 与えられた条件下で、バーガース方程式の弱解の最適な空間的正則性（H̺ としての表現）は何か？
• RQ4 近似スキームに対するパスごとの事前推定は、解過程の非爆発性およびグローバル存在性をどのように保証するか？

主な発見

• 本稿は、任意の ̺ ∈ (1/8, 1/4) に対して H̺ に値をとる空間時間白色ノイズを伴うバーガース方程式の弱解の存在と一意性を証明する。
• 提案された数値スキームは、任意の p ∈ (0, ∞) に対して lim supₙ→∞ supₜ∈[0,T] E[∥Xₜ − Xₙₜ∥ᵖᴴ] = 0 を満たし、弱解へほとんど確実かつ強く収束することが示された。
• スキームは完全に明示的かつ非線形項を切り詰めたものであり、与えられた正則性仮定のもとで強収束性を維持しながら計算可能性を確保している。
• 証明により、解過程が H̺ で有界に保たれることを示し、これは解が連続的であり、C((0,1); ℝ) の部分空間に値をとることを意味する。
• 著者らは先行研究を回復・拡張し、Jentzen ら [2019, Corollary 5.6] のバーガース方程式における強収束結果を、ほとんど確実収束および改善された正則性解析を伴って拡張した。
• このフレームワークは一般性に富んでおり、同じ条件下で確率的クランコ-シバシニ、アレン＝キャーン方程式、および2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対しても存在性と一意性を回復できる。