[論文レビュー] Existence, uniqueness and smoothness of solution for 3D Navier-Stokes equations with any smooth initial velocity

A. Tsionskiy, Mikhail Tsionskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の滑らかで compact な台を持つ初期速度場に対して、3次元ナビエ＝ストークス方程式の解の存在、一意性、滑らかさを、フーリエ変換とラプラス変換を用い、急速減少関数の関数空間における固定点議論によって証明する。解は時間全域で定義されており、無限回微分可能で、すべての時間で有限エネルギーを保つことが示され、滑らかな初期条件下でのナビエ＝ストークス方程式の存在問題の主要な側面が解決される。

ABSTRACT

Different authors had received a lot of results regarding the Euler and Navier-Stokes equations. Existence and smoothness of solution for the Navier-Stokes equations in two dimensions have been known for a long time. Leray showed that the Navier-Stokes equations in three dimensional space have a weak solution. Scheffer, and Shnirelman, obtained weak solution of the Euler equations with compact support in spacetime. Caffarelli, Kohn and Nirenberg improved Scheffer's results, and F.-H. Lin simplified the proof of the results of J. Leray. Many problems and conjectures about behavior of weak solutions of the Euler and Navier-Stokes equations are described in the books of Ladyzhenskaya, Bertozzi and Majda, Temam, Constantin or Lemarié-Rieusset. Solutions of the Navier-Stokes and Euler equations with initial conditions (Cauchy problem) for 2D and 3D cases were obtained in the converging series form by analytical iterative method using Fourier and Laplace transforms in a paper by Tsionskiy. These solutions were received as infinitely differentiable functions. That allowed us to analyze essential aspects of the problem on a much deeper level and with more details. For several combinations of problem parameters numerical results were obtained and presented as graphs by Tsionskiy. This paper describes detailed proof of existence and uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the 3D Navier-Stokes equations with any smooth initial velocity. This solution satisfies the conditions required in Fefferman for the problem of Navier-Stokes equations. When viscosity tends to zero this proof is correct for the Euler equations also.

研究の動機と目的

• 任意の滑らかで発散なしの初期速度場に対して、3次元ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解の存在と一意性を確立すること。
• 解がすべての時間 t ∈ [0, ∞) に対して滑らかでグローバルに定義されることを示すこと。
• 解がエネルギー束縛を満たし、無限遠で急速に減衰することを示し、物理的期待と整合すること。
• ν → 0 の極限において、結果をオイラー方程式に拡張すること。
• 積分方程式と関数空間論を用いた厳密な解析的枠組みを提供することにより、ナビエ＝ストークス問題に取り組むこと。

提案手法

• 非線形項を右辺に移動させることで、定数係数の線形偏微分方程式系にナビエ＝ストークス方程式を変換すること。
• 空間にフーリエ変換、時間にラプラス変換を適用し、速度場の積分方程式表現を導出すること。
• 滑らかさと減衰性の性質を保証するため、急速減少関数の空間 S で作業すること。
• 固定点解析を容易にするために、変数変換を用いて正規化された同値積分方程式を導入すること。
• 完備な距離空間における Caccioppoli-Banach 固定点定理を適用し、解の存在と一意性を証明すること。
• 事前エネルギー推定を用いて、すべての時間 t ≥ 0 において全エネルギーが有限に保たれることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな初期速度場に対して、3次元ナビエ＝ストークス方程式に滑らかでグローバルに定義された解が存在するか？
• RQ2 すべての時間 t ∈ [0, ∞) に対して、解が一意的かつ無限回微分可能に保たれるか？
• RQ3 解は小さな摂動に対して安定であり、無限遠での必要な減衰性および正則性条件を満たすか？
• RQ4 同様の手法を、粘性係数 ν → 0 の非粘性極限におけるオイラー方程式に拡張できるか？
• RQ5 解はすべての時間において有限エネルギーを保ち、物理的制約と整合的か？

主な発見

• 滑らかで台がコンパクトな初期速度場をもつ3次元ナビエ＝ストークス初期値問題の解は、すべての時間 t ∈ [0, ∞) に対して存在し、一意的であることが示された。
• 解は無限回微分可能であり、|x| → ∞ のとき |x| の任意の逆数よりも速く減衰する。
• 流体系のエネルギーはすべての時間で有界であり、[0, ∞) 全体にわたって一様に有限な値をとる。
• Caccioppoli-Banach 原理に基づく固定点議論により、時間に連続的に依存し、急速減少関数空間内での一意性が確認された。
• この手法は ν → 0 の極限においてオイラー方程式にも適用可能であり、解の存在と滑らかさが保たれる。
• 構築された解の逆フーリエ変換はシュワーツ空間 S に属することから、滑らかさと急速な減衰性が裏付けられた。