[論文レビュー] Existence, Uniqueness of Positive Solution to a Fractional Laplacians with Singular Nonlinearity

Yanqin Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$0 < s < 1$ および $0 < p < 1$ である滑らかな有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ における特異非線形性を伴う分数ラプラシアン方程式 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ に対して、正の古典解の存在および一意性を確立する。正則化近似問題における下解・上解法を用い、既知の $L^\infty$ 界の弱解の正則性を活用することで、$\Omega$ 内で正であり $\partial\Omega$ で消失する古典解への収束を証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence and uniqueness of positive classical solution of the fractional Laplacian with singular nonlinearity in a smooth bounded domain with zero Drichlet boundary conditions. By the method of sub-supersolution, we derive the existence of positive classical solution to the approximation problems. In order to obtain the regularity, we first establish the existence of weak solution for the fraction Laplacian. Thanks to \cite{XY}, the regularity follows from the boundedness of weak solution.

研究の動機と目的

• 滑らかな有界領域における分数ラプラシアン方程式 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ に対して、正の古典解の存在および一意性を確立すること。
• 古典的な下解・上解法を、特異項を含む非局所的分数ラプラシアン設定に拡張すること。
• 特異分数ラプラシアン楕円型問題に関する文献における存在および一意性結果のギャップを埋めること。
• 正則化された解の極限が、$0 < \alpha < 1$ に対して $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ に属する古典解であることを証明すること。
• 解が $\Omega$ 内で正であり、$\partial\Omega$ で消失することを示すこと。

提案手法

• 非線形性 $u^{-p}$ を $(\epsilon + u)^{-p}$ に置き換えることで特異性を正則化し、近似問題を構築する。
• 下解・上解法を適用：下解として $0$ を、方程式 $(-\Delta)^s w = \epsilon^{-p}$ の解を上解として用いる。
• 十分小さい $\epsilon > 0$ に対して、正則化問題 $(-\Delta)^s u_\epsilon = (\epsilon + u_\epsilon)^{-p}$ の古典解 $u_\epsilon$ の存在および一意性を証明する。
• $u_\epsilon$ の $\epsilon$ に関する単調性および $L^\infty(\Omega)$ における一様有界性を確立し、$\epsilon \to 0^+$ の極限での収束を保証する。
• Caffarelli-Silvestreの拡張を用いて $(-\Delta)^s u$ をディリクレからノイマンへの写像として表現し、$H^1_{0,L}(y^{1-2s})$ における弱形式を可能にする。
• 弱収束およびドミニエーティド収束定理を用いて極限に移行し、弱解 $u$ を得る。その後、その正則性と古典的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな有界領域における分数ラプラシアン方程式 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ に対して、正の古典解が存在するか？
• RQ2 与えられた条件下で、正の解は一意的か？
• RQ3 古典的な下解・上解法は、特異項を含む非局所的分数ラプラシアン設定に適応可能か？
• RQ4 極限解がどのような正則性を持つのか。$C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ に属することを示せるか？
• RQ5 解は $\Omega$ 内で有界かつ正であり、$\partial\Omega$ で消失するか？

主な発見

• 任意の $0 < s < 1$ および $0 < p < 1$ に対して、零Dirichlet境界条件を満たす滑らかな有界領域 $\Omega$ において、方程式 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ に対して、$u \in C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ に属する一意的な正の古典解が存在する。
• 解は、正則化問題 $(-\Delta)^s u_\epsilon = (\epsilon + u_\epsilon)^{-p}$ の解 $u_\epsilon$ の $\epsilon \to 0^+$ における一様極限として得られる。
• 列 $\{u_\epsilon\}$ は $\epsilon$ に関して単調増加であり、十分小さい $\epsilon$ に対して $\|u_\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)}$ は一様に有界である。
• 極限解 $u$ は $H^s_0(\Omega)$ 内の弱解であり、既知の弱解の正則性結果を用いて $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ にアップグレードされる。
• 一意性は背理法により証明される：二つの異なる解が存在すると仮定すると、最小点における最大原理に反する。
• 解は $\Omega$ 内で $u > 0$ を満たし、$\partial\Omega$ で $u = 0$ となる。これは境界条件および問題の構造と整合的である。