[論文レビュー] Existences and upper semi-continuity of pullback attractors in $H^1(\mathbb{R}^N)$ for non-autonomous reaction-diffusion equations perturbed by multiplicative noise

Wenqiang Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、乗法的ノイズを有する非-autonomous確率反応拡散方程式に対して、$H^1(\bbR^N)$ におけるプルバック吸引点の存在および上半連続性を確立する。コサイクルに抽象的なコンパクト性条件を導入することで、基準空間における吸引点が、より大きな関連空間においてもコンパクトで吸引的であり、上半連続であることを証明する。これは任意の非負の時間パラメータにおいて成り立つ。

ABSTRACT

The existences and upper semi-continuity of $\mathcal{D}$-pullback attractors in $H^1(\mathbb{R}^N)$ are proved for stochastic reaction-diffusion equation on $\mathbb{R}^N$ driven by a multiplicative noise and a deterministic non-autonomous forcing. It is also showed that the upper semi-continuity of the obtained attractors may happen in $H^1(\mathbb{R}^N)$ at any nonnegative number. To solve this problem, some abstract results are given, which imply that a family of attractors obtained in \emph{a initial space} are compact, attracting and upper semi-continuous in \emph{a associated non-initial space} only if some compactness conditions of the cocycles in this space are assumed.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズによって駆動される非-autonomous確率反応拡散方程式に対して、$H^1(\bbR^N)$ における $\tcal{D}$-プルバック吸引点の存在を確立すること。
• 任意の非負の時間パラメータにおいて、これらの吸引点が $H^1(\bbR^N)$ で上半連続であるかを調査すること。
• 初期空間における吸引点が、関連する非初期空間においてコンパクトで、吸引的であり、上半連続であることを保証する抽象的コンパクト性条件を構築すること。
• コサイクルのコンパクト性仮定を用いて、初期空間と関連関数空間における吸引点ダイナミクスのギャップを埋めること。

提案手法

• コサイクルダイナミクスの抽象的結果を用い、$H^1(\bbR^N)$ における吸引点のコンパクト性および上半連続性を保証する条件を導出する。
• 十分な正則性および減衰性を仮定することで、$H^1(\bbR^N)$ における確率反応拡散方程式が生成するコサイクルに対して、コンパクト性基準を適用する。
• $H^1(\bbR^N)$ におけるエネルギー推定および事前評価を用いて、解を制御し、コサイクルの漸近的コンパクト性を確立する。
• 経路ごとの解析および確率的力学系技法を用いて、乗法的ノイズおよび非-autonomous力の影響を検討する。
• 初期空間における吸引点が、コサイクルのコンパクト性仮定の下で、より大きな関連空間において上半連続に継承されることを示すフレームワークを導入する。
• 特に非有界領域における非-autonomousおよび確率的力学系におけるプルバック吸引点の理論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズおよび非-autonomous力が作用する非-autonomous確率反応拡散方程式に対して、$H^1(\bbR^N)$ におけるプルバック吸引点が存在する条件は何か？
• RQ2 任意の非負の時間パラメータにおいて、$H^1(\bbR^N)$ における吸引点の上半連続性を確立できるか？
• RQ3 コサイクルにどのような抽象的コンパクト性条件を課すと、初期空間における吸引点が関連する非初期空間において上半連続になるか？
• RQ4 乗法的ノイズおよび決定的非-autonomous力は、$H^1(\bbR^N)$ における長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 初期空間における吸引点と、それらの関連する非初期空間における正則性および連続性特性との関係は何か？

主な発見

• 乗法的ノイズおよび非-autonomous力が作用する確率反応拡散方程式に対して、$H^1(\bbR^N)$ における $\tcal{D}$-プルバック吸引点の存在が厳密に確立された。
• $H^1(\bbR^N)$ における吸引点の上半連続性が、任意の非負の時間パラメータにおいて証明され、微小な摂動に対してもロバストであることが示された。
• 初期空間で得られた吸引点の族は、コサイクルに適切なコンパクト性仮定が成り立つ限り、より大きな関連空間においてもコンパクトで吸引的であることが示された。
• $H^1(\bbR^N)$ における吸引点の上半連続性は、コサイクルがその空間で特定のコンパクト性条件を満たす限り保証される。
• 開発された抽象的フレームワークにより、$H^1(\bbR^N)$ における吸引点が関連関数空間に移行する際にも上半連続性の性質を継承することが保証された。
• 本研究の結果は、非有界領域における非-autonomousおよび乗法的ノイズを伴う確率的吸引点理論を拡張し、$H^1(\bbR^N)$ におけるさらなる解析の基盤を提供する。