[論文レビュー] Exit Probabilities for a Chain of Distributed Control Systems with Small Random Perturbations

Getachew K. Befekadu, Panos J. Antsaklis|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Petri Nets in System Modeling参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、小さな確率的摂動を伴う連鎖的分散制御系における拡散過程の脱出確率について、漸近的推定を展開する。脱出確率を確率的制御問題における価値関数と解釈することで、大偏差理論に基づく境界を導出し、摂動がシステム内にどのように伝播するかを特定する。その結果、ノイズ強度 ε→0 の際に脱出確率が指数関数的に減少することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion process pertaining to a chain of distributed control systems with small random perturbation. The distributed control system is formed by n subsystems that satisfy an appropriate Hormander condition, i.e., the second subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem, the third subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem then was transmitted to the second subsystem and so on, such that the random perturbation propagates through the entire distributed control system. Note that the random perturbation enters only in one of the subsystems and, hence, the diffusion process is degenerate, in the sense that the backward operator associated with it is a degenerate parabolic equation. Our interest is to estimate the exit probability with which a diffusion process (corresponding to a particular subsystem) exits from a given bounded open domain during a certain time interval. The method for such an estimate basically relies on the interpretation of the exit probability function as a value function for a family of stochastic control problems that are associated with the underlying chain of distributed control systems.

研究の動機と目的

• 小さな確率的摂動を伴う分散制御系の連鎖における拡散過程が有界領域から脱出する確率を推定すること。
• 最初のサブシステムに直接影響を受けるノイズ摂動が、その後続のサブシステムにどのように伝播するかを分析すること。
• 大偏差原理および確率的制御理論を用いて、システムの脱出時間行動を特徴付けること。
• ノイズレベル ε が 0 に近づく際の脱出確率に対する一様漸近的境界を確立すること。

提案手法

• ノイズが直接作用するのは最初のサブシステムに限られ、以降のサブシステムは状態依存のダイナミクスを通じて摂動を引き継ぐ、n次元拡散過程としてシステムをモデル化する。
• 関連する退化放物型後退作用素の擬微分作用素としての正則性と適切な定義を保証するため、Hörmander 条件を適用する。
• 脱出確率関数を、確率的制御問題の族に対する価値関数と解釈することで、動的計画法の原則を適用可能にする。
• 小ノイズ極限における脱出確率の上界および下界を導出するために、Ventcel-Freidlin の漸近的推定を用いる。
• 脱出確率の下界を構築するために、ペナルティ関数 Φ_M を導入し、動的計画法不等式の検証を行う。
• 状態空間のコンパクト部分集合上で、脱出確率率関数 I^ε,ℓ がそのゼロノイズ極限 I^0,ℓ に一様収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが直接作用するのは最初のサブシステムに限られる連鎖的分散制御系において、小さな確率的摂動はどのように伝播するか？
• RQ2 ノイズ強度 ε→0 の際に、このようなシステム内のサブシステムの脱出確率の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 このようなシステムにおいて、サブシステムの脱出確率を確率的制御フレームワークにおける価値関数として特徴付けられるか？
• RQ4 小ノイズ下での有界領域からのシステム脱出時間に対する大偏差推定は何か？
• RQ5 連鎖の構造（例えば、逐次的依存性）は、脱出確率率関数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 脱出確率は ε→0 の際に指数関数的に減少し、そのレートは大偏差率関数 I^ε,ℓ によって決定される。
• ε→0 の際に、率関数 I^ε,ℓ は状態空間のコンパクト部分集合上でそのゼロノイズ極限 I^0,ℓ に一様収束する。
• 退化拡散過程に対する Ventcel-Freidlin 推定を用いて、脱出確率の上界が確立される。
• ペナルティ関数アプローチと動的計画法不等式の検証により、下界が導出される。
• 脱出確率関数が確率的制御問題の価値関数として示され、動的計画法による解析的取り扱いが可能になる。
• 本研究の結果は、システムが所定の領域から脱出するまでの時間の持続期間に関する漸近的情報を提供する。