[論文レビュー] Exotic arithmetic structure on the first Hurwitz triplet

Lei Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最初のHurwitz三重対—14次のGenusを持つ3つのリーマン面で、最大自己同型群の位数が84(14−1)=1176であるもの—が、ℚ(cos(2π/7))上でのレベル13の合同型Shimura曲線として、および同じ体上でのレベル7の非合同型モジュラー曲線として、2つの異なる算術的構造を持つことを確立している。主な発見は、3番目の曲線Y₃における非合同型モジュラー形式と、ℚ(e²πi/13)上のヒルベルトモジュラー形式との間の「異方的双対性」であり、モノスター群、G₂および14次モジュラー方程式との深い関係を示している。

ABSTRACT

We find that the first Hurwitz triplet possesses two distinct arithmetic structures. As Shimura curves $X_1$, $X_2$, $X_3$, whose levels are with norm 13. As non-congruence modular curves $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, whose levels are 7. Both of them are defined over ${\Bbb Q}(\cos \frac{2 π}{7})$. However, for the third non-congruence modular curve $Y_3$, there exist an "exotic" duality between the associated non-congruence modular forms and the Hilbert modular forms, both of them are related to ${\Bbb Q}(e^{\frac{2 πi}{13}})$! Our results have relations and applications to modular equations of degree fourteen (including Jacobian modular equation and "exotic" modular equation), "triality" of the representation of $PSL(2, 13)$, Haagerup subfactor, geometry of the exceptional Lie group $G_2$, and even the Monster finite simple group ${\Bbb M}$!

研究の動機と目的

• 最初のHurwitz三重対の存在に対する代替的な算術的説明を解明すること。これは古典的には、ℚ(cos(2π/7))の整数環におけるレベル13の合同部分群から生じる。
• 同じ三重対が、同じ体ℚ(cos(2π/7))上に定義されたレベル7の非合同型モジュラー曲線として実現可能であることを示すこと。
• 3番目の曲線Y₃における非合同型モジュラー形式と、サイクロトミック体ℚ(e²πi/13)上のヒルベルトモジュラー形式との間の「異方的双対性」を確立すること。
• この異方的算術的構造が、14次モジュラー方程式、PSL(2,13)の表現論、および例外的リー群やモノスター群との関係に与える影響を調査すること。

提案手法

• ℚ(cos(2π/7))の整数環におけるレベル13の主合同部分群を用いて、最初のHurwitz三重対をShimura曲線X₁, X₂, X₃として構成すること。
• Fuchsian群を用いて、同じ体ℚ(cos(2π/7))上に定義されたレベル7の非合同型モジュラー曲線Y₁, Y₂, Y₃として三重対を実現すること。
• 変数δ∞, δν (ν=0,…,12)を含む14変数の代数的系を定義し、モジュラー不変量を符号化する対称多項式𝔾₀から𝔾₁₂を構成すること。
• 対称多項式𝔾₀がPSL(2,13)の位数78の最大部分群の作用に関して不変であることを証明し、∑δν + δ∞ = 0が成り立つことを示すこと。
• 関係式∑δν² + δ∞² = 26(7·13²𝔾₀² + ∑𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ)から「14次異方的モジュラー方程式」を導出すること。これはヤコビアンモジュラー方程式ではない。
• M = 7·13²𝔾₀² + ∑𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ = 0で定義される多様体（ℙ¹³内に12次元で次数4の多様体）と、モノスター群の最大13局所部分群N(13B²)との関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最初のHurwitz三重対は、レベル13の合同型Shimura曲線としてだけでなく、異なるレベル構造を持つ非合同型モジュラー曲線としても実現可能か？
• RQ2 Y₃における非合同型モジュラー形式とℚ(e²πi/13)上のヒルベルトモジュラー形式との間の双対性の性質は何か？
• RQ3 対称多項式δνに依存する14次異方的モジュラー方程式は、古典的ヤコビアンモジュラー方程式とどのように異なるか？
• RQ4 M = 0で定義される12次元多様体と、モノスター群の最大13局所部分群N(13B²)との関係は何か？
• RQ5 PSL(2,13)の6次元および7次元表現は、ヤコビアンモジュラー方程式および異方的双対性とどのように関係するか？

主な発見

• 最初のHurwitz三重対は、2つの異なる算術的構造を持つ：レベル13のShimura曲線X₁, X₂, X₃およびレベル7の非合同型モジュラー曲線Y₁, Y₂, Y₃で、両者ともℚ(cos(2π/7))上に定義される。
• 3番目の非合同型曲線Y₃に対しては、その非合同型モジュラー形式とℚ(e²πi/13)上のヒルベルトモジュラー形式との間の「異方的双対性」が存在する。
• 対称多項式関係∑δν² + δ∞² = 26(7·13²𝔾₀² + ∑_{i=0}^{6} 𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ)から、ヤコビアン方程式でない14次異方的モジュラー方程式が構成される。
• M = 7·13²𝔾₀² + ∑_{i=0}^{12} 𝔾ᵢ𝔾₁₂₋ᵢ = 0で定義される多様体は、ℙ¹³内の12次元で次数4の代数的多様体であり、PSL(2,13)の作用に関して不変で、モノスター群の最大13局所部分群N(13B²)と関連している。
• 対称多項式𝔾₀から𝔾₁₂は、変数δ₀, δ₁, ..., δ₁₂, δ∞に関する二次形式として明示的に計算可能であり、𝔾₀はPSL(2,13)の位数78の最大部分群の作用に関して不変である。
• 関係式∑_{ν=0}^{12} δν + δ∞ = 0が成り立つ。これは14変数系がヤコビアンモジュラー方程式を導かないことを示し、方程式の「異方的」性質を裏付けている。