[論文レビュー] Exotic Bifurcations Inspired by Walking Droplet Dynamics

Aminur Rahman, Denis Blackmore|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、歩行ドロップレット（パイロットウェーブ）モデルにインspされた離散力学系において、吸引的不変ジョルダン曲線と鞍点の安定・不安定多様体の相互作用から生じる2種類の新規な力学的分岐—ホモクリニクス分岐およびヘテロクリニクス・ホモクリニクス分岐—を導入する。主な貢献は、パラメータ変動によって駆動される特異な分岐の同定と解析であり、特に接するホモクリニクス軌道と横断的ホモクリニクス軌道の逐次的出現に続く、頑健なカオス的ストレンジアトラクターの生成を含む。さらに、高次元系への拡張およびギレット写像モデルへの応用も含まれる。

ABSTRACT

We identify two rather novel types of (compound) dynamical bifurcations generated primarily by interactions of an invariant attracting submanifold with stable and unstable manifolds of hyperbolic fixed points. These bifurcation types - inspired by recent investigations of mathematical models for walking droplet (pilot-wave) phenomena - are introduced and illustrated. Some of the one-parameter bifurcation types are analyzed in detail and extended from the plane to higher-dimensional spaces. A few applications to walking droplet dynamics are analyzed.

研究の動機と目的

• 歩行ドロップレット力学から生じる離散力学系における、これまで報告のない新たな分岐型の同定と解析。
• パラメータを変化させた際の、吸引的不変ジョルダン曲線と鞍点の安定・不安定多様体との相互作用の調査。
• 平面系からの特異な分岐の解析を高次元空間へと拡張すること。
• これらの分岐がギレット写像モデルおよびその変種に与える関連性、特に頑健なカオス的ストレンジアトラクターの生成に関する実証。
• パイロットウェーブ系における微分同相写像モデルおよび不変測度の今後の研究の基盤を築くこと。

提案手法

• 本研究では、$ \mu $ を固定し、$ C $（$ \sigma $ として表記）を変動パラメータとする $ C^1 $ 写像 $ F: ℝ^2 \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 $ の1パラメータ族を用いる。具体的にはギレット写像を採用する。
• 分析の焦点は、正に不変なジョルダン曲線（吸引的リミットサイクル）と、双曲的固定点（鞍点）の安定多様体および不安定多様体との相互作用に置かれる。
• 主なメカニズムには、接するホモクリニクス軌道の形成、その後に続く横断的および接するホモクリニクス軌道の系列が含まれ、これにより力学的クラッシュ（dynamical crisis）とカオス的アトラクターの発展が引き起こされる。
• 安定多様体を越えてヤコビアン行列式の符号変化を分析することで、方向反転を示す非一対一スライス領域 $ Z $ および $ \breve{Z} $ の存在が確立される。
• ヘテロクリニクス・ホモクリニクス分岐をモデル化するため、連続性を保ちつつ分岐構造を維持するように定義された区分的写像を持つ修正ギレット写像 $ \tilde{F} $ が導入される。
• 平面系の幾何的および位相的条件を $ \mathbb{R}^m $ に一般化することで、高次元系への拡張が議論される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歩行ドロップレットモデルにおける、吸引的不変ジョルダン曲線と鞍点の安定・不安定多様体との相互作用から、どのような新規な分岐型が生じるか？
• RQ2 接するホモクリニクス軌道と横断的ホモクリニクス軌道の系列は、どのようにして頑健なカオス的ストレンジアトラクターの発生に寄与するか？
• RQ3 特に $ \sigma = C $ を通じたパラメータ変動は、どのようにして力学的クラッシュを引き起こし、アトラクターの形状遷移を支配するか？
• RQ4 ギレットの写像のような非一対一写像で観察された分岐現象は、どのようにして高次元力学系へ一般化可能か？
• RQ5 方向反転を示す非一対一スライス領域は、どのようにして特異な分岐とカオス的ダイナミクスの実現を可能にするか？

主な発見

• ギレット写像は $ \sigma = C $ の増加に伴い、複数の接するホモクリニクス軌道と横断的ホモクリニクス軌道が交互に現れる分岐の系列を示し、最終的に頑健なカオス的ストレンジアトラクターに至る。
• $ \sigma \in (0.45, 0.528) $ の範囲では、カオス的ストレンジアトラクターが出現し、$ \sigma \approx 0.7 $ まで形状が維持されるが、その後連続的な形状変化を経て、カオス的スプラッタに崩壊する。
• 分岐機構は、吸引的ジョルダン曲線と鞍点の安定多様体との相互作用によって駆動され、ヤコビアン行列式の符号変化に起因する方向反転が、非一対一スライス領域 $ Z $ および $ \breve{Z} $ の生成を引き起こす。
• 安定多様体を越えて $ \det F' $ の符号変化を確認することで、これらのスライス領域の存在が裏付けられ、スライス幾何におけるカスプ状の境界が生じる。
• 連続的だが $ C^\infty $ でない修正ギレット写像 $ \tilde{F} $ は、分岐系列を正確に再現でき、このメカニズムが区分的滑らかさに対しても頑健であることを検証した。
• 結果は高次元系へも拡張可能であり、平面系における幾何的および位相的条件が $ \mathbb{R}^m $ への一般化の基盤をなしている。