[論文レビュー] Exotic group C*-algebras

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換離散群、特に $SL_n(\mathbb{Z})$ と自由群に対して、理想完備化と C*-代数のラティス構造を組み合わせることで、異種群 C*-代数の新規構成を提示する。$C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ が任意の $C^*_{\ell^q}$ に支配されない新たな中間 C*-代数のクラスを形成することを証明し、$SL_n(\mathbb{Z})$ に対して非可算個の異なる異種 C*-代数を確立する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a discrete group. When $Γ$ is nonamenable, the reduced and full group $C$*-algebras differ and it is generally believed that there should be many intermediate $C$*-algebras, however few examples are known. In this paper we give new constructions and compare existing constructions of intermediate group $C$*-algebras for both generic and specific groups $Γ$.

研究の動機と目的

• 非可換群の縮小型と全型群 C*-代数の間の明示的中間 C*-代数を構成するという長年の未解決問題に取り組む。
• 理想完備化（$\ell^p$-表現を含む）、ベッカの算術群構成、$\lambda_{G_d}$-に基づく手法を含む、既存の異種 C*-代数の構成を比較・統合する。
• 群 C*-代数の集合にラティス構造を導入し、新たな異種 C*-代数を体系的に生成する。
• $C^*_{\ell^p}$ と $C^*_{\mathcal{F}_0}$ 代数を組み合わせることで、$SL_n(\mathbb{Z})$ に対して非可算個の異なる異種 C*-代数の存在を確立する。
• $\mathbb{F}_\infty$ に対して $\ell^p$-鎖の外にある新しい異種 C*-代数のクラスを提供し、既知の異種群 C*-代数の地図を拡張する。

提案手法

• 可換移動不変イデアル $D \subset \ell^\infty(\Gamma)$、特に $D = \ell^p(\Gamma)$ を用いて C*-半ノルムを定義し、$\mathbb{C}[\Gamma]$ を $C^*_D(\Gamma)$ に完備化する。
• 既存の C*-代数の結合と交わりとして新しい C*-代数を生成するため、群 C*-代数の集合にラティス構造を導入する。
• フェル位相と弱包含の技術を用いて表現の収束を分析し、自明部分表現を検出する。
• 特に $\mathbb{F}_2 \subset SL_2(\mathbb{Z})$ の埋め込みを用いて、部分群間の表現の帰納と制限を用い、自由群から $SL_n(\mathbb{Z})$ への性質の転送を行う。
• ベッカの合同部分群および自明表現の分離に関する結果を応用し、特定の誘導表現が自明表現を弱く含まないことを示す。
• 結合 $C^*_{\mathcal{F}_0}(\Gamma) \vee C^*_{\ell^p}(\Gamma)$ を用いて、新たな異種 C*-代数のクラスを構成し、$q > p$ に対して任意の $C^*_{\ell^q}$ に支配されないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $\ell^p$-完備化を超えて、非可換群に対して体系的な異種群 C*-代数を構成することは可能か？
• RQ2 $SL_n(\mathbb{Z})$ に対して $\ell^p$-鎖の外にあり、かつ任意の $C^*_{\ell^q}$ に支配されない異種 C*-代数は存在するか？
• RQ3 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ が、各 $p$ に対して新たな別個の異種 C*-代数をもたらすか？
• RQ4 $SL_n(\mathbb{Z})$ における $\ell^p$-完備化に関連する表現が、自明表現を弱く含まないことを示せるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_\infty$ に対して $\ell^p$-ファミリーに属さない異種 C*-代数を構成することは可能か？

主な発見

• 本稿は、結合 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$ を用いて、$SL_n(\mathbb{Z})$ に対して新たな異種群 C*-代数のクラスを構成し、これは任意の $C^*_{\ell^q}$ に支配されない。
• $p \in [1, \infty)$ に対して、$C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z})) \not\succeq C^*_{\ell^q}(SL_n(\mathbb{Z}))$ を満たす $q > p$ が存在する。これにより、結合が任意の $C^*_{\ell^q}$ 代数に含まれないことが証明される。
• $SL_n(\mathbb{Z})$ に対して、$\ell^p$-鎖や $\lambda_{G_d}$-に基づく構成を超えた非可算個の異なる異種 C*-代数の族が構成された。
• $\mathbb{F}_\infty$（可算個の生成元を持つ自由群）に対して、$\ell^p$-ファミリーの外にある新たな異種 C*-代数が構成され、より広範な異種代数のクラスの存在を示した。
• $SL_n(\mathbb{Z})$ における $\ell^p$-完備化に関連する表現は、自明表現を弱く含まない。これは、新しい C*-代数が $C^*_{\ell^q}$ 代数とは明確に区別されるために重要な性質である。