[論文レビュー] Exotic smooth structures on $S^2 imes S^2$

Anar Akhmedov, B. Doug Park|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、 genus 2 の曲面を底面とする genus 2 の曲面束に Luttinger 計量を逆方向に適用する逆設計的手法に基づき、4次元多様体 $S^2 \times S^2$ に対して、互いに微分同相でない無限個の非自明な滑らかさ構造の族を構成する。主な結果として、$S^2 \times S^2$ は無限大性質（$\infty$-property）を有しており、それにより無限個の異なる滑らかさ構造（シンプレクティックおよび非シンプレクティックを含む）を許容し、それらを区別する非自明な Seiberg-Witten 不変量を有する。

ABSTRACT

We construct an infinite family of mutually non-diffeomorphic irreducible smooth structures on the topological 4-manifold $S^2 imes S^2$.

研究の動機と目的

• 本稿は、$S^2 \times S^2$ が無限個の互いに微分同相でない滑らかさ構造を有することを証明することを目的とする。
• 本稿は、$S^2 \times S^2$ が $\infty$-性質を有することを確立することを目的とし、それにより無限個の非自明な非シンプレクティックおよび1つのシンプレクティック滑らかさ構造を支持することを示すことである。
• 本稿は、これらのエキゾチック構造が、非自明で異なる Seiberg-Witten 不変量によって区別されることを示すことである。
• 本稿は、これらのエキゾチックな $S^2 \times S^2$ 構造を blown up することにより、$m \geq 2$ に対して $\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$ に無限個の互いに微分同相でない滑らかさ構造が得られることを示すことである。

提案手法

• 非自明な genus 2 の曲面を底面とする genus 2 の曲面束に、[8] の「逆設計」技法を適用する。
• Euler 特性が 4、$b_1 = 6$、$b_2 = 14$、$K^2 = 8$ である複素曲面 $X = (\Sigma_2 \times \Sigma_3)/\mathbb{Z}/2$ を構成し、これは一般型の極小曲面である。
• $X$ に対して6回の Luttinger 計量を施し、パrameter $n$ でパrameter化される 4次元多様体の族 $M_n^1$ を得る。
• Seiberg-Witten 不変量を用いて得られた滑らかさ構造を区別し、$SW_{M_n^1}(\pm(2A+2B)) = n$ を示す。
• Taubes の定理を用いて、中間多様体 $Z$ に対して $|SW_Z(\pm c_1(Z))| = 1$ を示し、これを利用して $M_n^1$ の不変量を計算する。
• Freedman の分類定理を用いて、すべての $M_n^1$ が $S^2 \times S^2$ とホモトピー同値であることを結論づけ、一方でそれらの異なる Seiberg-Witten 不変量から、それらが微分同相でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Can $S^2 \times S^2$ support infinitely many mutually nondiffeomorphic smooth structures?
• RQ2 Are there infinitely many irreducible, nonsymplectic smooth structures on $S^2 \times S^2$ with distinct Seiberg-Witten invariants?
• RQ3 Does the symplectic Kodaira dimension remain invariant under Luttinger surgeries, and can it be used to distinguish smooth structures?
• RQ4 Can exotic smooth structures on $S^2 \times S^2$ be used to generate exotic structures on $\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$ via blowups?
• RQ5 Do the exotic $S^2 \times S^2$ structures lead to manifolds that do not admit Einstein metrics or nonsingular normalized Ricci flow solutions?

主な発見

• 本稿は、$S^2 \times S^2$ に対して、互いに微分同相でない無限個の滑らかさ構造の族を構成し、$\infty$-性質を証明した。
• $M_n^1$ の Seiberg-Witten 不変量は $\pm(2A+2B)$ のみで非ゼロであり、その値は $n$ に等しい。これにより、$n \neq m$ のとき $M_n^1$ と $M_m^1$ が微分同相でないことが示された。
• $M_1^1$ はシンプレクティックであり、Kodaira 次元が 2 である。一方、$n \geq 2$ の $M_n^1$ は非シンプレクティック、非自明な Seiberg-Witten 不変量を有する非自明な滑らかさ構造である。
• Freedman の定理により、すべての $M_n^1$ は $S^2 \times S^2$ とホモトピー同値である。これは、すべての $M_n^1$ が単連結で、交差形式が $H$ であるためである。
• $M_n^1$ の $m-1$ 個の点を blown up することにより、任意の $m \geq 2$ に対して、$\mathbb{CP}^2 \#\,m\overline{\mathbb{CP}}^2$ に無限個の互いに微分同相でない滑らかさ構造が得られる。$m=4$ の場合も含む。
• $m=4$ の場合、得られる多様体 $Y_n$ は Einstein 度量を有さず、Yamabe 不変量が負であり、任意の初期計量に対して非特異な正規化されたリッチフローを支持しない。