[論文レビュー] Expanders and box spaces

Ana Khukhro, Alain Valette|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限生成で再帰的に有限な群の有限商の粗い直積として得られるボックス空間—特に $SL_n(\mathbb{Z})$ や関連する群から導かれる拡張子—の粗い同値性を調査する。$n \geq 2$ に対して、異なる合同フィルトレーションを用いることで、$SL_n(\mathbb{Z})$ は非可算個の互いに粗く同値でない拡張子を有することが示され、$n \geq 3$ の異なる $n$ に対する $SL_n(\mathbb{Z})$ のボックス空間、あるいは異なる素数 $p$ に対する $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ のボックス空間が、それぞれ粗く同値でないことも示される。さらに、強い非拡張性の性質 $D_\alpha$ を特徴づけ、それが仮想的に $\mathbb{Z}$ への上への写像と同値であることを証明し、ランプライトラーや $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 群の明示的例を構成する。

ABSTRACT

We consider box spaces of finitely generated, residually finite groups $G$, and try to distinguish them up to coarse equivalence. We show that, for $n\geq 2$, the group $SL_n(\mathbb{Z})$ has a continuum of box spaces which are pairwise non-coarsely equivalent expanders. Moreover, varying the integer $n\geq 3$, expanders given as box spaces of $SL_n(\mathbb{Z})$ are pairwise inequivalent; similarly, varying the prime $p$, expanders given as box spaces of $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ are pairwise inequivalent. A strong form of non-expansion for a box space is the existence of $α\in]0,1]$ such that the diameter of each component $X_n$ satisfies $diam(X_n)=Ω(|X_n|^α)$. By a result of Breuillard and Tointon, the existence of such a box space implies that $G$ virtually maps onto $\mathbb{Z}$: we establish the converse. For the lamplighter group $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ and for a semi-direct product $\mathbb{Z}^2 times\mathbb{Z}$, such box spaces are explicitly constructed using specific congruence subgroups. We finally introduce the full box space of $G$, i.e. the coarse disjoint union of all finite quotients of $G$. We prove that the full box space of a group mapping onto the free group $\mathbb{F}_2$ is not coarsely equivalent to the full box space of an $S$-arithmetic group satisfying the Congruence Subgroup Property.

研究の動機と目的

• 再帰的に有限な群のボックス空間を粗い同値性の観点から区別すること、特に $SL_n(\mathbb{Z})$ や関連する群から導かれる拡張子に焦点を当てる。
• 成分の直径がサイズの正のべきとして増加するという、強い非拡張性の幾何的性質 $D_\alpha$ を特徴づけ、それを群構造と関連付ける。
• $D_\alpha$-ボックス空間の存在が、群が $\mathbb{Z}$ に仮想的に上への写像をもつことと同値であり、弱い条件下でその逆も成り立つことを証明する。
• 合同部分群を用いて、ランプライトラーグループ や $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ のような非可換群に対して、明示的な $D_\alpha$-ボックス空間を構成する。
• 異なる群の完全なボックス空間（すべての有限商の直和）を比較し、$S$-算術群で合同部分群性質を満たす群 $G$ に対して、$\Box \mathbb{F}_2$ と $\Box G$ が粗く同値でないことを示す。

提案手法

• $SL_m(\mathbb{Z})$ 内の正規部分群の減少フィルトレーション $\Gamma(N_k(s))$ を用いてボックス空間を構成し、$N_k(s) = 2^{[ks]}$ とすることで、得られる空間が拡張子であることを保証する。
• チェーバー定数を用いて拡張子を定義し、マーガリスやメンデル＝ナオルの結果を応用して、粗い埋め込み不能性により拡張子を区別する。
• $D_\alpha$-性質を導入：ある $K > 0$ に対して $\text{diam}(G/M) \geq K \cdot |G/M|^\alpha$ が成り立ち、これが粗い不変量であることを証明する。
• $D_\alpha$-ボックス空間が存在するための必要十分条件が、群が $\mathbb{Z}$ に仮想的に上への写像をもつことであることを、ランプライトラーや $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 群における合同部分群による明示的構成を用いて示す。
• エスキン＝フィッシャー＝ワイツの準等長同型基準を適用し、$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ や $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ のような非可換位相的同値なワーレンプロダクトが、等長的（したがって粗く同値な）ボックス空間を持つことを示す。
• 完全なボックス空間構成（すべての有限商の直和）を用いて、$\mathbb{F}_2$ や $S$-算術群を比較し、正規部分群の数の増加率を用いて粗い同値性の非成立を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる $n \geq 3$ に対して $SL_n(\mathbb{Z})$ のボックス空間は粗く同値か？
• RQ2 異なる素数 $p$ に対して $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ のボックス空間は粗く同値か？
• RQ3 $D_\alpha$-性質は、$\mathbb{Z}$ に仮想的に上への写像をもたない群に対しても実現可能か？
• RQ4 $\mathbb{Z}\wr\mathbb{Z}$ の合同ボックス空間に $D_\alpha$-性質が存在するか？
• RQ5 異なるランクの自由群の完全ボックス空間は粗く同値か？

主な発見

• $m \geq 2$ に対して、ボックス空間 $\square_{(\Gamma(N_k(s)))}SL_m(\mathbb{Z})$ は、互いに粗く同値でない拡張子であり、それらは非可算個のこのような拡張子をもたらす。
• $n \geq 3$ に対して、$SL_n(\mathbb{Z})$ のボックス空間は互いに粗く同値でない。同様に、異なる素数 $p$ に対して $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ のボックス空間も粗く同値でない。これは、成長性やスぺクトラル性質の違いによる。
• $D_\alpha$-性質は粗い不変量であり、$D_1$ が成り立つのは群が仮想的に巡回群であるときかつそのときに限る。
• ランプライトラーグループ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ および $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ に対して、特定の合同部分群を用いて明示的な $D_\alpha$-ボックス空間が構成される。
• 群が $\mathbb{F}_2$ に上への写像をもつとき、その完全ボックス空間は、合同部分群性質を満たす任意の $S$-算術群 $G$ の完全ボックス空間と粗く同値でない。
• 非可換位相的同値でない群、例えば $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ と $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ は、等長的（したがって粗く同値な）ボックス空間を持つ。これは、粗い同値性が可換位相的同値性を意味しないことを示している。