[論文レビュー] Expanders have a spanning Lipschitz subgraph with large girth

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 23被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、十分に強い拡張性を持つ有限グラフ—特に高いスペクトルギャップ、または短いサイクルの密度が低いもの—が、大きなゴーリングと拡張性を保ったままのスパニング部分グラフを有することを、Lovász Local Lemma を用いて証明する。主な結果は、このような部分グラフが、最大次数とスペクトルギャップの関数として下から有界なチェーバー定数を維持することを示しており、短いサイクルを削除するための辺の削除後でも成立する。

ABSTRACT

We show that every regular graph with good local expansion has a spanning Lipschitz subgraph with large girth and minimum degree. In particular, this gives a finite analogue of the dynamical solution to the von Neumann problem by Gaboriau and Lyons. We give a new proof and strengthen the Gaboriau-Lyons result, that allows us to answer two questions of Monod about geometric random subgroups. Our finite theorems are kind of converse to the theorem of Bourgain and Gamburd showing that large girth implies expansion for Cayley graphs of SL_2(F_p). We apply these to the regular case of Thomassen's conjecture stating that every finite graph with large average degree has a subgraph with large girth and average degree. Our main tool is an infinite version of the Lovasz Local Lemma developed in this paper.

研究の動機と目的

• 拡張性とゴーリングの間の矛盾を解消するため、強い拡張性が存在すれば、サイクルを削除しても拡張性を失わずゴーリングを向上させられることを示すこと。
• 高いスペクトルギャップまたは短いサイクルの密度が低いグラフが、ゴーリングを大きくし、良好な拡張性を維持するようにスパarsified（スパース化）可能であることを証明すること。
• Lovász Local Lemma を用いた構成的証明により、大きなゴーリングと有界なチェーバー定数を有するスパニング部分グラフの存在を示すこと。
• エクスパンダー列が、大きなゴーリングと強い拡張性の両方を有できるかどうかという未解決問題に取り組むこと、特にランダムグラフおよびラマヌジャングラフにおいて。
• 特にスモールセット拡張問題に関連して、このような部分グラフを効率的に構築するためのアルゴリズム的妥当性と限界を検討すること。

提案手法

• 短いサイクルと部分集合における悪条件（悪い拡張性）に対応する、慎重に構築された「悪事象」の集合に Lovász Local Lemma を適用する。
• 各頂点の近傍における局所的制約を用いて、短いサイクルの存在や、サイズに対して端の境界が小さい部分集合を「悪事象」と定義する。
• 確率的技法を用いて、ランダムな辺の削除プロセスがすべての悪事象を回避する正の確率が存在することを示し、これにより大きなゴーリングと良好な拡張性が保証される。
• 元のグラフの辺境界と次数を含む線形不等式を用いて、得られる部分グラフのチェーバー定数の下界を確立する。
• スペクトルグラフ理論を活用：チェーバー定数を組合せ的ラプラシアンの第二固有値に関連づけ、スペクトル的条件を拡張性の閾値に変換する。
• スペクトルギャップと最大次数を用いて、部分グラフのチェーバー定数の定量的評価を導出し、特定の条件下で Ω(log Δ) のまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数 Δ で高次の拡張性を持つ有限グラフは、ゴーリングを大きくし、非自明なチェーバー定数を維持したままスパース化可能か？
• RQ2 どのようなスペクトル的条件、または局所的サイクル密度の条件が、大きなゴーリングと強い拡張性を有するスパニング部分グラフの存在を保証するか？
• RQ3 Lovász Local Lemma は、このような部分グラフの構成に十分か？また、その構成をアルゴリズム的に行う際の限界は何か？
• RQ4 得られる部分グラフのチェーバー定数は、元のグラフのスペクトルギャップと最大次数の関数として下から有界にできるか？
• RQ5 この手法は、高次元エクスパンダー、あるいは測度的構造を持つ無限グラフへとどの程度一般化可能か？

主な発見

• 任意の最大次数 Δ とスペクトルギャップ λ₂(G) ≥ Δ − Δ/(192(log Δ + 2)) を満たす有限グラフに対して、ゴーリングが少なくとも g で、チェーバー定数 h(H) ≥ 0.99(log Δ + 2) を満たすスパニング部分グラフ H が存在する。
• すべての k ≤ g に対して、各頂点あたりの k-サイクル数が (Δ/(8δ))ᵏ 未満であると仮定すると、ゴーリング ≥ g で h(H) ≥ (δ/(2Δ))h(G) − (2 log Δ + 4) を満たすスパニング部分グラフ H が存在する（やや緩い条件のもと）。
• 得られる部分グラフ H のチェーバー定数は、元のグラフのスペクトルギャップと最大次数の関数として下から有界であり、非自明な拡張性が保証される。
• h(H) の下界は定量的に強く、ラマヌジャングラフおよびランダム d-正則グラフでは、部分グラフが元の拡張性の質に一致する Ω(√d) のオーダーで拡張性を維持する。
• 大きな d に対して非自明である：λ₂(G) ≥ Δ − Δ/(192(log Δ + 2)) のとき、H のチェーバー定数は少なくとも 0.99(log Δ + 2) であり、Δ に対して対数的に増加する。
• この手法は Lovász Local Lemma に依存しており、悪事象の数が指数的に多くても適用可能であるが、悪事象の効率的同定は依然として課題のままである。