[論文レビュー] Expanders via random spanning trees

Navin Goyal, Luis Rademacher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用数 45

ひとこと要約

この論文は、二つのランダムな全域木の和集合であるsplicersを導入し、有界次数およびランダムグラフにおいて、単純で効率的な方法で拡張子を構築することを提案する。本論文では、このようなsplicersがすべてのカットを対数的要因内で近似できることを証明し、O(n)本の辺を用いてスケーラブルで信頼性の高いルーティングおよびグラフのスプライシングを可能にする。

ABSTRACT

Motivated by the problem of routing reliably and scalably in a graph, we introduce the notion of a splicer, the union of spanning trees of a graph. We prove that for any bounded-degree n-vertex graph, the union of two random spanning trees approximates the expansion of every cut of the graph to within a factor of O(log n). For the random graph Gn, p, for p = Ω(log n/n), we give a randomized algorithm for constructing two spanning trees whose union is an expander. This is suggested by the case of the complete graph, where we prove that two random spanning trees give an expander. The construction of the splicer is elementary; each spanning tree can be produced independently using an algorithm by Aldous and Broder: A random walk in the graph with edges leading to previously unvisited vertices included in the tree. Splicers also turn out to have applications to graph cut-sparsification where the goal is to approximate every cut using only a small subgraph of the original graph. For random graphs, splicers provide simple algorithms for sparsifiers of size O(n) that approximate every cut to within a factor of O(log n).

研究の動機と目的

• 大規模なグラフにおける信頼性の高いスケーラブルなルーティングに向け、スパarsで高拡張性を持つ部分グラフを構築すること。
• 二つのランダムな全域木のみを用いて、拡張子を単純に確率的構成する手法を開発すること。
• さまざまなグラフ族におけるランダムな全域木の和集合のカット近似に関する理論的保証を提供すること。
• すべてのカット値を対数的要因内で保持する、サブラインサイズの部分グラフを用いた効率的なグラフカットスプライシングを可能にすること。

提案手法

• 未訪問の頂点にのみ辺を追加するランダムウォークに基づくAldous-Broderアルゴリズムを用いて各全域木を構築する。
• 同じグラフの独立に生成された二つのランダムな全域木の和集合としてsplicerを形成する。
• 元のグラフにおけるすべてのカットの拡張性が、splicerによってO(log n)の要因内で近似されることを証明する。
• p = Ω(log n / n)であるランダムグラフG(n, p)に対してこの手法を適用し、二つのランダムな全域木が高確率で拡張子を形成することを示す。
• splicerの構造を活用して、O(log n)の近似要因を持つO(n)本の辺を有する部分グラフを構築し、カットスプライシングとして利用する。
• splicerの拡張性の性質を活用して、ルーティングおよびグラフ圧縮における耐障害性とスケーラビリティを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数のグラフにおいて、二つのランダムな全域木の和集合は、すべてのカットの拡張性を多項対数的要因内で近似できるか？
• RQ2 p = Ω(log n / n)であるErdős–RényiのランダムグラフG(n, p)において、二つのランダムな全域木の和集合は高確率で拡張子を形成するか？
• RQ3 splicerを用いて、すべてのカット値を対数的要因内で保持する、小さなスパarsな部分グラフをどのように構築できるか？
• RQ4 一般のグラフにおいて、二つのランダムな全域木をsplicerとして用いる場合のカット近似に関する理論的保証は何か？

主な発見

• 任意のn頂点の有界次数グラフにおいて、二つのランダムな全域木の和集合は、すべてのカットの拡張性をO(log n)の要因内で近似する。
• 完全グラフでは、二つの独立なランダムな全域木がほとんど確実に拡張子部分グラフを形成する。
• p = Ω(log n / n)であるランダムグラフG(n, p)において、二つの全域木の和集合が拡張子を形成する確率的アルゴリズムが存在する。
• splicerは、すべてのカットに対してO(log n)の近似要因を持つO(n)本の辺を有する部分グラフとしてのカットスプライシングを実現する。
• この構成は素朴で効率的であり、ランダムウォークとAldous-Broderアルゴリズムによる木生成に依存するにとどまる。
• この手法は、大規模ネットワークにおけるグラフスプライシングおよび信頼性の高いルーティングのためのスケーラブルで分散フレンドリーなアプローチを提供する。