[論文レビュー] Expanding cone and applications to homogeneous dynamics

Ronggang Shi|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単純なリー群 $H$ の水平超曲面部分群 $U$ に関連する最大分解トーラス $A$ 内の拡大錐 $A_U^+$ を導入し、リー代数の根を用いた明示的な代数的特徴づけを提供する。$A_U^+$ における $U$-スライスの平行移動について、定量的で質量の逃げがない性質と分布の等分布性を確立し、スペクトルギャップの仮定の下で有効な複数の等分布性と誤差率を得る。また、新規の相関推定を用いて、$k=2$ を超える $k$-ステップの結果にまで拡張された、誤差項を伴う複数の点ごとのエルゴード定理を導出する。この枠組みは、均一動学と数論の古典的設定を一般化する。

ABSTRACT

Let $U$ be a horospherical subgroup of a noncompact simple Lie group $H$ and let $A$ be a maximal split torus in the normalizer of $U$. We define the expanding cone $A_U^+$ in $A$ with respect to $U$ and show that it can be explicitly calculated. We prove several dynamical results for translations of $U$-slices by elements of $A_U^+$ on finite volume homogeneous space $G/Γ$ where $G$ is a Lie group containing $H$. More precisely, we prove quantitative nonescape of mass and equidistribution of a $U$-slice. If $H$ is a normal subgroup of $G$ and the $H$ action on $G/Γ$ has a spectral gap, we prove effective multiple equidistribution and pointwise equidistribution with an error rate. In the paper we formulate the notion of the expanding cone and prove the dynamical results above in the more general setting where $H$ is a semisimple Lie group without compact factors. In the appendix, joint with Rene Ruhr, we prove a multiple ergodic theorem with an error rate.

研究の動機と目的

• 単純なリー群と水平超曲面部分群の文脈において、拡大錐 $A_U^+$ を定義し、明示的に特徴づけること。
• 有限体積の均一空間 $G/\Gamma$ 上での $A_U^+$ の作用に関して、$U$-スライスの平行移動の定量的で質量の逃げがない性質と等分布性を確立すること。
• 均一空間 $G/\Gamma$ 上での $H$-作用にスペクトルギャップが存在するという仮定の下で、滑らかな $U$-スライスの有効な複数の等分布性と明示的な誤差率を証明すること。
• $k=2$ の場合を越えて一般化された、誤差率を伴う複数の点ごとのエルゴード定理を導出すること。
• コンpact因子を持たない一般の単純な群への動学的結果の一般化、特に $\mathrm{SL}_{m+n}(\mathbb{R})$ のような古典的設定からの拡張。

提案手法

• 拡大錐 $A_U^+$ を、任意の非自明な既約表現 $\rho$ に対して $U$-固定ベクトルが $\rho(a)$ の正の固有空間に属するような $a \in A$ の集合として定義する。これは $U$ が $a$-拡大であることを意味する。
• キリング形式を用いて根を $\mathfrak{a}$ の元と同一視することで、$A_U^+$ を明示的に $\exp(\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}})$ と表す。ここで $\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}} = \sum_{\alpha \in \Phi(\mathfrak{u})} t_\alpha s_\alpha$ であり、$t_\alpha > 0$ である。
• Kleinbock-Margulis の手法を用いて、滑らかな測度の $U$-スライスの平行移動の有効な複数の相関を証明し、$k=1,2$ から任意の $k \geq 1$ へと拡張する。
• 有効な二重等分布性の結果を応用し、相関積分の減衰推定を用いて、複数のエルゴード平均を単一のエルゴード平均に還元する。
• スペクトルギャップの仮定の下で、$L^2$-型の減衰推定（定理 A.2）を用いた重み付き平均の議論により、複数の点ごとのエルゴード定理を証明する。
• 相関の $L^2$-減衰（補題 A.3）を用いて、複数のエルゴード平均の分散を制御し、誤差率 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数のデータ $H$ と $U$ を用いて、拡大錐 $A_U^+$ をどのように明示的に特徴づけられるか。
• RQ2 $A_U^+$ の作用下での $U$-スライスの平行移動について、等分布性や質量の逃げがない性質といった動学的性質はどのようなものか。
• RQ3 スペクトルギャップが存在する場合に、$k$-ステップ相関の有効な複数の等分布性を、明示的な誤差率とともに確立できるか。
• RQ4 均一動学の文脈において、有効な複数の相関からどのように有効な複数のエルゴード定理を導出できるか。
• RQ5 スペクトルギャップは、$U$-スライスのより強い等分布性とエルゴード性の結果を可能にする役割を果たすか。

主な発見

• 拡大錐 $A_U^+$ は $\exp(\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}})$ として明示的に与えられ、ここで $\mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u}}$ は $\Phi(\mathfrak{u})$ に属する根に対応する $s_\alpha$ の正の線形結合である。
• $A_U^+$ の要素による $U$-スライスの平行移動は、有限体積の均一空間 $G/\Gamma$ 上で定量的で質量の逃げがない性質を示す。
• 均一空間 $G/\Gamma$ 上での $H$-作用にスペクトルギャップが存在する場合、$A_U^+$ の作用下での $U$-スライスの平行移動は等分布性を満たし、有効な誤差率を伴う。
• スペクトルギャップの下で、$k$-ステップ相関の有効な複数の等分布性が $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$ の誤差率で確立され、$k=2$ の場合を越えて一般化される。
• 有効な複数の相関と単一のエルゴード平均への還元を用いて、同じ誤差率 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$ を伴う複数の点ごとのエルゴード定理が証明される。
• 付録では、$s_i \in \mathfrak{a}^+_{\mathfrak{u},b}$ という仮定の下で、$\mu_U$-ほとんど everywhere の $h \in U$ に対して、誤差率 $o(T^{-1/2} \log^{3/2 + \varepsilon} T)$ を伴う複数の点ごとのエルゴード定理が確立される。