[論文レビュー] Expanding Measures

Vilton Pinheiro|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Kellerの1次元における絶対連続不変測度に関する定理を、臨界領域または特異領域を有する任意次元のC^{1+}写像へと拡張する。帰納的マコフ写像Fを構成し、帰還時間の上限が最初の双曲的時刻によって与えられる（一様に有界）ことで、元の写像の拡張測度がF上の不変測度へと持ち上げられることを示し、相関の崩壊などの統計的性質の研究が可能になる。

ABSTRACT

We prove that any C^{1+} transformation, possibly with a (non-flat) critical or singular region, admits an invariant probability measure absolutely continuous with respect to any expanding measure whose Jacobian satisfies a mild distortion condition. This is an extension to arbitrary dimension of a famous theorem of Keller for maps of the interval with negative Schwarzian derivative. We also show how to construct an induced Markov map F such that every expanding probability of the initial transformation lifts to an invariant probability of F. The induced time is bounded at each point by the corresponding first hyperbolic time (the first time the dynamics exhibits hyperbolic behavior). In particular, F may be used to study decay of correlations and others statistical properties of the initial map, relative to any expanding probability.

研究の動機と目的

• 1次元区間写像におけるKellerの定理を、臨界領域または特異領域を有する高次元のC^{1+}写像へ一般化すること。
• ヤコビアンにやや弱い歪み条件を課すことで、任意の拡張測度に関して絶対連続な不変確率測度の存在を確立すること。
• 元の系の各拡張測度がF上での不変測度へと持ち上げられるような帰納的マコフ写像Fを構成すること。
• 帰納的帰還時間が最初の双曲的時刻によって有界であることを保証し、Fを介して元の系の統計的性質の解析を可能にすること。

提案手法

• 最初の双曲的時刻関数を用いて、マコフ写像を帰納的に定義する帰還時間を定義する。
• 元の系からの不変測度をマコフ構造へと持ち上げる帰納的写像Fを構成する。
• 測度論的持ち上げの正規性を保証するため、ヤコビアンにやや弱い歪み条件を適用する。
• 帰納的写像Fを用いて、相関の崩壊などの統計的性質をFから元の系へと逆方向に移す。
• 帰納的帰還時間が最初の双曲的時刻によって有界であることを利用し、帰納的力学系の複雑さを制御する。
• 歪み制御を通じて、持ち上げられた測度が元の拡張測度に関して絶対連続であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のシュワーツィアンを有する1次元写像における絶対連続不変測度の存在を、非平坦な臨界領域または特異領域を有する高次元C^{1+}写像へと拡張できるか？
• RQ2 帰納的マコフ写像Fをどのように構成すれば、その不変測度が元の系の拡張測度に対応するか？
• RQ3 帰納的マコフ写像における最初の双曲的時刻と帰還時間の関係は何か？
• RQ4 どの程度まで、相関の崩壊のような統計的性質を帰納的写像Fを介して解析できるか？
• RQ5 ヤコビアンにどのような条件下で、拡張測度のF上への持ち上げが絶対連続性を保つのか？

主な発見

• ヤコビアンにやや弱い歪み条件を満たす任意のC^{1+}変換は、非平坦な臨界領域または特異領域を有する場合、任意の拡張測度に関して絶対連続な不変確率測度を有する。
• 元の写像の各拡張測度がF上での不変確率測度へと持ち上げられるような帰納的マコフ写像Fを構成可能である。
• 帰納的写像Fにおける帰還時間は、各点で元の系の対応する最初の双曲的時刻によって有界である。
• Fの構成により、相関の崩壊などの統計的性質をFから元の系へと移すことが可能になる。
• 帰納的写像Fは元の系の測度論的構造を保ち、その統計的挙動の厳密な解析を可能にする。