[論文レビュー] Expanding Thurston maps as quotients

Daniel Meyer|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、先行研究における不変ペアノ曲線構成を用いて、任意の十分に高次の反発的サーストン写像の反復写像が、2つの多項式のマッティングに位相的共役であることを示している。主な貢献は、臨界ポートレートを用いた組合せ的特徴付けであり、このような写像がマッティングとして生じることを示し、ユークリッド平面および双曲平面のフラクタルタイリングの構成を可能にしている。

ABSTRACT

A Thurston map is a branched covering map $f\colon S^2 o S^2$ that is postcritically finite. Mating of polynomials, introduced by Douady and Hubbard, is a method to geometrically combine the Julia sets of two polynomials (and their dynamics) to form a rational map. We show that for every expanding Thurston map $f$ every sufficiently high iterate $F=f^n$ is obtained as the mating of two polynomials. One obtains a concise description of $F$ via critical portraits. The proof is based on the construction of the invariant Peano curve from Meyer. As another consequence we obtain a large number of fractal tilings of the plane and the hyperbolic plane.

研究の動機と目的

• 反発的サーストン写像の十分に高次の反復写像 F = fⁿ が、2つの多項式のマッティングとして生じることを確立すること。
• 不変ペアノ曲線から導かれる臨界ポートレートを用いて、このような写像の組合せ的特徴付けを提供すること。
• 不変ペアノ曲線がユークリッド平面および双曲平面へのフラクタルタイリングをどのように誘導するかを示すこと。
• 反発的サーストン写像がマッティングとして実現可能となる条件、特にサーストンの障害要因との関係を調査すること。
• Sierpińskiカーペット有理写像のジュリア集合への円周からそのジュリア集合への半共役性の存在を調査し、ペアノ曲線構成を一般化すること。

提案手法

• タイルおよび辺の組合せ的構造を用いて、反発的サーストン写像 f から不変ペアノ曲線 γ を構成する。
• 写像の力学的性質とペアノ曲線近似を用いて、円周上の白と黒の同値関係 ∼n,𝑤 および ∼n,𝑏 を定義する。
• 同値関係の帰納的構成を用いて、マッティング構造を符号化するリーマンおよびギャップを定義する。
• 写像に双曲的オーロラが存在する場合、力学的性質をオーロラ被覆に持ち上げることで、双曲平面へのタイリングを生成する。
• マルチカーブおよびサーストンの障害を臨界ポートレート球面 𝕊̃² 上に表現し、有理性条件を分析する。
• ポワリエの定理を適用して、白および黒の同値類がマッティング多項式のジュリア集合に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反発的サーストン写像 f が2つの多項式のマッティングに位相的共役となる条件は何か？
• RQ2 反発的サーストン写像の臨界ポートレートが、それがマッティングとして生じることを決定づけることができるか？
• RQ3 円周からSierpińskiカーペット有理写像のジュリア集合への、力学的性質を尊重する半共役性が存在するか？
• RQ4 不変ペアノ曲線を用いて、双曲的オーロラを持つ写像について、双曲平面へのフラクタルタイリングを構成できるか？
• RQ5 臨界ポートレートにおける組合せ的条件は、サーストンの障害が存在しないことを示唆するか？

主な発見

• 反発的サーストン写像 f の十分に高次の反復写像 F = fⁿ は、2つの多項式のマッティングに位相的共役である。
• マッティング構造は、2つの多項式の力学を符号化する臨界ポートレートによって完全に決定される。
• 不変ペアノ曲線 γ は、各タイルが臨界ポートレートギャップの逆像に対応する球面へのタイリングを誘導する。
• 双曲的オーロラを持つ写像では、ペアノ曲線が双曲平面に持ち上がり、自己相似的フラクタルタイリングを生成する。
• 白および黒の同値関係 ∼𝑤 および ∼𝑏 の同値類は有限であり、マッティング多項式のファトウ集合およびジュリア集合に対応する。
• 本構成により、マッティングが臨界ポートレートを介して実現可能であるための必要十分条件が得られ、等軸を持つ有理写像に関する既知の結果を一般化する。