[論文レビュー] Expansion for moments of regression quantiles with application to nonparametric testing

Enno Mammen, Ingrid Van Keilegom+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Statistical Methods and Inference参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、核スムージングを用いた回帰分位数のパrametric仕様に対する非パラメトリック検定を提案し、Nadaraya-Watson分位数推定子のモーメントの高次エッジワース展開を用いて漸近理論を導出する。主な貢献は、パラメトリックおよびノンパラメトリック適合の間の重み付きL²距離と漸近的に同等である検定統計量を提示することであり、帰無仮説の下で正規分布に漸近的に収束するため、バンド幅や次元に関する制限のない有効な推論が可能になる。

ABSTRACT

We discuss nonparametric tests for parametric specifications of regression quantiles. The test is based on the comparison of parametric and nonparametric fits of these quantiles. The nonparametric fit is a Nadaraya-Watson quantile smoothing estimator. An asymptotic treatment of the test statistic requires the development of new mathematical arguments. An approach that makes only use of plugging in a Bahadur expansion of the nonparametric estimator is not satisfactory. It requires too strong conditions on the dimension and the choice of the bandwidth. Our alternative mathematical approach requires the calculation of moments of Nadaraya-Watson quantile regression estimators. This calculation is done by application of higher order Edgeworth expansions.

研究の動機と目的

• パラメトリック回帰分位数モデルの非パラメトリック適合度検定を構築すること。
• 強いバンド幅および次元制限を要する標準的なバーダール展開手法の限界を克服すること。
• パラメトリックおよびノンパラメトリック分位数適合の間のL²距離に基づく検定統計量の漸近正規性を確立すること。
• Nadaraya-Watson分位数推定子のモーメントの高次エッジワース展開を用いて、帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出すること。
• 次元やバンド幅の制限なしに、多様な代替仮説に対して検出力を持つロバストでオムニバス検定を提供すること。

提案手法

• ノンパラメトリックなNadaraya-Watson分位数推定子とパラメトリック適合の間の積分平方差に基づく検定統計量を提案する。
• 積み上げカーネルとバンド幅 $ h $ を用いた核スムージングを採用し、すべてのバンド幅が同程度のオーダーにあると仮定する。
• ノンパラメトリック推定子 $ \widehat{r}_{\alpha}(x) $ を、パラメトリック適合からの残差の重み付きチェック関数の最小化問題として定義する。
• Nadaraya-Watson分位数推定子のモーメントを計算するために高次エッジワース展開を適用し、漸近的解析を可能にする。
• 検定統計量を成分に分解し、U統計量中心極限定理とモーメント計算を用いて漸近正規性を証明する。
• 検定統計量 $ \widehat{T}_A $ がノンパラメトリックおよびパラメトリック適合の間の重み付き $ L^2 $-距離と漸近的に同等であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的なバーダール展開の仮定に依存しない、パラメトリック回帰分位数モデルの非パラメトリック検定を構築できるか？
• RQ2 パラメトリックおよびノンパラメトリック分位数適合を比較する核ベースの検定統計量の漸近的分布は何か？
• RQ3 一般条件のもとで、Nadaraya-Watson分位数推定子のモーメントを導出するために高次エッジワース展開をどのように用いることができるか？
• RQ4 バンド幅および次元が制限されない状況でも、帰無仮説の下で検定統計量が漸近的に正規分布に従うか？
• RQ5 本検定は、複数の分位数および説明変数の値の範囲において、パラメトリック仕様からの逸脱を検出できるか？

主な発見

• 検定統計量 $ \widehat{T}_A $ は、ノンパラメトリックおよびパラメトリック分位数推定子の間の重み付き $ L^2 $-距離と漸近的に同等である。
• 帰無仮説の下で、$ nh^{d/2}T_{n7} $ は平均 $ D_A $ および分散 $ V_A $ の正規確率変数に分布収束する。ここで $ D_A $ は積分平方バイアス、$ V_A $ は漸近分散を表す。
• 項 $ T_{n1} $ から $ T_{n6} $ は漸近的に無視可能であり、$ T_{n6} = o_P((nh^{d/2})^{-1}) $ が成り立つ。これにより、主な寄与は $ T_{n7} $ に集中する。
• U統計量中心極限定理を用いて $ nh^{d/2}T_{n7} $ の漸近正規性を確立し、モーメント条件の検証および退化の制御を実施した。
• 本検定は次元やバンド幅の選択に対してロバストであり、直接的なバーダール展開手法に要する強い正則性条件を回避する。
• 理論的枠組みは、平均回帰に基づく検定が検出できない代替仮説の広いクラスに対しても検出力を持つオムニバス検定を支持する。