[論文レビュー] Expansion in simple groups

Emmanuel Breuillard, Alexander Lubotzky|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限およびコンパクトな単純群における拡張の理論を概説し、カジダンの性質(T)が拡張グラフの構成およびルジエヴィッチ問題の解決において果たす役割に焦点を当てる。最近のスペクトルギャップ現象、量子ゲートのナビゲーションアルゴリズム、および量子計算応用におけるリー群における算術的格子の使用による最適な語長近似の達成についても強調する。

ABSTRACT

Two short seminal papers of Margulis used Kazhdan's property $(T)$ to give, on the one hand, explicit constructions of expander graphs, and to prove, on the other hand, the uniqueness of some invariant means on compact simple Lie groups. These papers opened a rich line of research on expansion and spectral gap phenomena in finite and compact simple groups. In this paper we survey the history of this area and point out a number of problems which are still open.

研究の動機と目的

• マーガリスの基盤的業績に基づく、有限およびコンパクトな単純群における拡張現象の発展を概説すること。
• カジダンの性質(T)を介して、拡張グラフの構成とリー群における不変平均の一意性を結びつけること。
• 有限単純群およびコンパクトリー群におけるスペクトルギャップ理論の未解決問題を探索すること。
• 特に量子計算応用を念頭に置いた、コンパクト群におけるナビゲーション問題を検討すること。
• 算術的格子およびブレヒュート＝ティツのビルディングが、効率的な語長近似（ゴールデンゲート）を構築する上で果たす役割を調査すること。

提案手法

• 半単純群の格子の商におけるケイリー図のスペクトルギャップを確立するために、カジダンの性質(T)を用いる。
• ユニタリ表現論を適用して、L²(G) 上のラプラシアン作用素 Δ^S の2番目の固有値を評価し、一様なスペクトルギャップを保証する。
• ソロベイ＝キタイェフアルゴリズムとスペクトル法を用いて、コンパクトリー群における任意の群元を短い語で近似する。
• PU(n) × PGL_n(K) のような積における算術的格子を活用し、PU(n) に稠密な部分群を射影し、p進成分をナビゲーションに用いる。
• 算術群がブレヒュート＝ティツのビルディング（またはランク1では木）に作用することを応用して、語分解のための効率的アルゴリズムを設計する。
• Gにおけるε-球の体積成長 μ_ε を分析し、語長 ℓ ≲ log(1/ε) の下界を得ることを目的とし、最適または近似的に最適な定数を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな単純リー群 G の有限対称生成集合 S が、ケイリー図 Cay(G, S) において一様なスペクトルギャップをもたらすか。
• RQ2 S からの生成子を用いて任意の元 g ∈ G を ε-近似するための最小語長 ℓ は何か。また、これは効率的に達成可能か。
• RQ3 実およびp進群の積における算術的格子は、PU(n) におけるスペクトルギャップと効率的ナビゲーションを両立可能か。
• RQ4 ブレヒュート＝ティツのビルディングは、PU(3) のような高ランク群への木ベースのナビゲーションの一般化において果たす役割は何か。
• RQ5 スペクトル法を用いてソロベイ＝キタイェフアルゴリズムを改善し、量子ゲート合成におけるより短い語長を達成可能か。

主な発見

• カジダンの性質(T)は、格子の商におけるケイリー図のスペクトルギャップを一様に保証し、明示的な拡張グラフの構成を可能にする。
• 性質(T)を用いて、S^n (n ≥ 4) におけるルジエヴィッチ問題が解決され、回転に関して不変な測度はレベーグ測度のみであることが示された。
• PU(2) に対して、ロスとセリンジャーは算術群 PU₂(ℤ[√2][1/√2]) を用いてナビゲーション問題の解を構成し、短い語近似を達成した。
• パルツァンチェフスキーとサルナックは、PU(2) × PGL₂(K) における算術的格子を用いて「ゴールデンゲート」を一般化し、ナビゲーションにブレヒュート＝ティツの木を応用した。
• エヴラとパルツァンチェフスキーは、PU(3) × PGL₃(ℚ_p) における算術的格子を用いて、ビルディング構造を介したナビゲーションを可能にするフレームワークを拡張した。
• 理論的境界から、ε-近似における語長 ℓ が O(log(1/ε)) まで低下可能であり、一部の構成では最適定数に近い値が達成されていることが示唆されている。