[論文レビュー] Expansion of fractional derivatives in terms of an integer derivative series: physical and numerical applications

Anastasia Gladkina, Gavriil Shchedrin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Grünwald-Letnikov分数階微分を整数階微分の無限級数展開として導出し、リーマン＝リウビルおよびキャプトー定義と等価であることを示している。この手法により、線形分数階微分方程式の堅牢な数値的解法が可能となり、切り捨てられた級数は、Mittag-Leffler関数およびFox-Wright関数を含む正確な解に急速に収束することが示された。

ABSTRACT

We use the displacement operator to derive an infinite series of integer order derivatives for the Grünwald-Letnikov fractional derivative and show its correspondence to the Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives. We demonstrate that all three definitions of a fractional derivative lead to the same infinite series of integer order derivatives. We find that functions normally represented by Taylor series with a finite radius of convergence have a corresponding integer derivative expansion with an infinite radius of convergence. Specifically, we demonstrate robust convergence of the integer derivative series for the hyperbolic secant (tangent) function, characterized by a finite radius of convergence of the Taylor series $R=π/2$, which describes bright (dark) soliton propagation in non-linear media. We also show that for a plane wave, which has a Taylor series with an infinite radius of convergence, as the number of terms in the integer derivative expansion increases, the truncation error decreases. Finally, we illustrate the utility of the truncated integer derivative series by solving two linear fractional differential equations, where the fractional derivative is replaced by an integer derivative series up to the second order derivative. We find that our numerical results closely approximate the exact solutions given by the Mittag-Leffler and Fox-Wright functions. Thus, we demonstrate that the truncated expansion is a powerful method for solving linear fractional differential equations, such as the fractional Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• Grünwald-Letnikov、リーマン＝リウビル、およびキャプトー分数階微分を、整数階微分の共通の無限級数表現によって統一すること。
• 特に、テイラー級数の収束半径が有限である関数に対して、整数微分の級数展開の収束特性を調査すること。
• 切り捨てられた整数微分級数を用いた線形分数階微分方程式の数値的解法の開発および検証すること。
• 切り捨てられた級数が分数階微分を近似し、分数階微分方程式を解く際に示す精度と効率を評価すること。

提案手法

• 移動作用素を用いて、Grünwald-Letnikov分数階微分の整数階微分の無限級数を導出する。
• 導出された級数が、初期条件の取り扱いによる下限の違いを除き、リーマン＝リウビルおよびキャプトー分数階微分と等価であることを示す。
• 無限級数の切り捨てを適用し、数値的に分数階微分を近似する。収束性は、tanh(x)、sech(x)、sin(x)などの関数でテストした。
• 4次ルンゲ＝クッタ法を用いて、定数係数および変数係数を有する切り捨てられた分数階微分方程式を解く。
• 正確な解は、Mittag-Leffler関数およびFox-Wright関数を基準として、数値結果と比較した。
• 級数に保持する項の数を関数とする切り捨て誤差を測定することで、収束性を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grünwald-Letnikov分数階微分は、整数階微分の無限級数として正確に表現可能か？
• RQ2 sech(x) や tanh(x) のような関数について、整数微分級数の収束性は、テイラー級数の収束性と比べてどう異なるか？
• RQ3 切り捨てられた整数微分級数は、線形分数階微分方程式を解くために精度よくかつ効率的な数値的手段を提供するか？
• RQ4 収束半径が無限大である関数について、切り捨て級数に含める項の数と得られる切り捨て誤差との関係は何か？
• RQ5 ガウス関数のような関数に対して、整数微分級数展開の適用に制限は存在するか？

主な発見

• Grünwald-Letnikov、リーマン＝リウビル、およびキャプトー分数階微分は、すべて同じ整数階微分の無限級数に対応しており、初期条件処理の違いにより下限の和が異なるのみである。
• 収束半径が有限（R = π/2）であるsech(x) や tanh(x) についても、整数微分級数展開では収束半径が無限大となる。
• sin(x) については、2項の切り捨てで平均誤差1%、10項の切り捨てで誤差は0.01%にまで低下する。
• 切り捨てられた整数微分級数は、定数係数および変数係数を有する線形分数階微分方程式を効果的に解き、Mittag-Leffler関数およびFox-Wright関数を用いた正確な解と数値解がよく一致する。
• 変数係数方程式ではN=3の切り捨てで10%の誤差が生じるが、定数係数方程式では同じ切り捨てで誤差はわずか1%にとどまる。
• ガウス関数に対しては、誤差が階乗的増加とエルミート多項式の振動的挙動により、この展開が失敗することが判明し、この展開の普遍性に限界があることが示された。