[論文レビュー] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth, Sixth, Seventh and Eighth Multiplicities Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、L²([t,T]^k) 内の一般化多重フーリエ級数を用いて、多重度 5 から 8 の反復ストラトノビッチ確率積分を展開する新規手法を提示する。この手法は、ルジャンドル多項式および三角関数級数を活用し、平均二乗収束を保証する単一の極限遷移により、既存のイトに基づく手法と比較して大幅に展開を簡素化する。この手法により、イト型確率微分方程式の効率的数値積分が可能となる。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth, sixth, seventh and eighth multiplicities based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Specifically, we mainly use multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. The case of generalized multiple Fourier series in arbitrary complete orthonormal systems of functions in $L_2([t, T])$ is also considered for $k=1,\ldots,6$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained (Theorems 42, 44) but under one additional condition. The considered expansions converge in the mean-square sense and contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than appropriate expansions of iterated Ito stochastic integrals. We use expansions of the latter as a tool of the proof of expansions for iterated Stratonovich stochastic integrals. Iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion for solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 反復ストラトノビッチ確率積分の多重度 5 から 8 の、効率的で平均二乗収束する展開を開発すること。
• 既存の低次の展開（k=2 から 4）を一般化多重フーリエ級数を用いて高次に一般化すること。
• 任意の完全正規直交系および L² 重み関数を含む最小限の条件下で収束を確立すること。
• 従来の手法と比較して極限遷移の回数を減らすことで、近似プロセスを簡素化すること。
• テイラー＝ストラトノビッチ展開を介して、イト型確率微分方程式の実用的数値積分を可能とすること。

提案手法

• L²([t,T]^k) 内の一般化多重フーリエ級数を用い、ルジャンドル多項式や三角関数などの正規直交基底を活用する。
• 反復ストラトノビッチ積分の展開に一般化多重フーリエ級数法を適用し、正規直交系への射影を実行する。
• 反復イト積分展開に基づく再帰的証明戦略を用い、基礎的ツールとして活用する。
• パーソバルの等式および L² ノルムの推定を用いて近似誤差を評価し、収束を証明する。
• 高次積分を扱うために、残差項を分析し、p→∞ のときその L² ノルムが 0 に収束することを示す、新規な技術を導入する。
• トレース級数の収束および漸近的推定（例：O(1/p^{1−ε})) を用いて、極限プロセスおよび誤差の減衰を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重度 5 から 8 の反復ストラトノビッチ確率積分は、一般化多重フーリエ級数を用いて平均二乗収束する展開が可能か？
• RQ2 任意の完全正規直交系および L² 重み関数を含む最小限の仮定のもとで、収束をどのように証明できるか？
• RQ3 これらの展開の平均二乗収束速度は何か？ また、既存のイトに基づく展開と比較してどうなるか？
• RQ4 複数の極限遷移を要する従来の手法とは異なり、単一の極限遷移に削減可能か？
• RQ5 切断パrameter p→∞ のとき、展開における残差誤差が L² ノルムで 0 に収束する条件は何か？

主な発見

• 多重度 5 から 8 の反復ストラトノビッチ積分の展開は、単一の極限遷移により L² ノルムで収束し、近似プロセスが著しく簡素化される。
• 多重度 5 から 8 の範囲では、展開の平均二乗誤差が任意の ε>0 に対して O(1/p^{1−ε}) で有界であり、定数は p に依存しない。
• 任意の完全正規直交系（L²([t,T]) 内）および L²([t,T]) 内の重み関数を含む最小限の仮定のもとで収束を達成する。
• 展開における残差項 ˆRp は、||ˆRp||_{L²([t,T]^{k−2r})} → 0 (p→∞) を満たし、極限プロセスの妥当性が証明される。
• 本手法は任意の多重度 k∈N に一般化可能であり、条件 (756) や (725) の下で収束が保証され、先行研究を拡張する。
• 複数の極限操作を伴う従来の展開とは異なり、計算的に有利である。