[論文レビュー] Expansions for Droplet States in the Ferromagnetic XXZ Heisenberg Chain

T. A. B. Kennedy|ArXiv.org|Oct 27, 2003

Quantum many-body systems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周期的境界条件を伴う反強磁性XXZヘイゼンベルグ模型におけるドロプレット状態の収束する摂動展開を、運動量空間における分離と縮小写像技術を用いて開発する。ドロプレット状態に対応する固有値および固有関数のバンドの存在を証明し、その分散関係を絶対収束するε^m次のフーリエ係数を用いて解析的接続する。

ABSTRACT

We consider the highly anisotropic ferromagnetic spin 1/2 Heisenberg chain with periodic boundary conditions. In each sector of constant total z component of the spin, we develop convergent expansions for the lowest band of eigenvalues and eigenfunctions. These eigenstates describe droplet states in which the spins essentially form a single linear droplet which can move. Our results also give a convergent expansion for the dispersion relation, i.e., the energy of the droplet as a function of its momentum. The methods used are from math-ph/0208026 and cond-mat/0104199, and this short paper should serve as a pedagogic introduction to those papers.

研究の動機と目的

• 固定された全スピン-zを有する領域における、移動性ドロプレット励起状態に対応する最低固有状態および固有値の収束する摂動的展開を構成すること。
• より複雑な研究で用いられる手法を、反強磁性・高いたん断性の状態に簡略化することで、同モデルに関するより複雑な研究への入門的導入を提供すること。
• 有限鎖の推定を用いて、熱力学的極限におけるドロプレット状態の連続的固有値バンド（分散関係）の存在を確立すること。
• 分散関係のフーリエ係数が絶対収束し、かつε^m次のオーダーであることを示すこと。ここでmはドロプレット内の下向きスピンの数である。

提案手法

• 周期的境界条件による運動量空間における量子化を用いて、固定運動量部分空間内に目的の固有値を分離すること。
• m個の下向きスピンを有する領域における固有状態および固有値の収束する展開を構成するため、重み付きノルム空間における縮小写像の議論を適用すること。
• 収束を保証するため、|ε|の逆数乗のべき乗を含む重み付きノルムw_n, w(X)を定義すること。
• 非 degeneracy および反強磁性極限における自明でない基底状態の不在により、[4]および[5]の技術を簡略化して適応すること。
• 分散関係のフーリエ係数のための不動点方程式を用い、絶対収束性およびε^mスケーリングを示す推定を実行すること。
• 有限Nの固有値E_N(k)を展開によりすべてのkに拡張し、(41)における無限大N極限の定義を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的境界条件を伴う反強磁性XXZ鎖における移動性ドロプレット状態に対して、収束する摂動的展開を構築できるか？
• RQ2 これらのドロプレット状態の分散関係の構造は何か？また、熱力学的極限においてどのように振る舞うか？
• RQ3 無限鎖における連続スペクトルの存在にもかかわらず、有限次元部分空間に固有値問題を分離することで、収束する展開を可能にするにはどうすればよいか？
• RQ4 分散関係のフーリエ係数のεパラメータに対する一次近似スケーリングは何か？

主な発見

• 十分に小さい|ε|および固定されたm（下向きスピン数）に対して、重み付きノルムにおける固有状態係数のための不動点方程式に収束解が存在する。
• N個の固有値および固有関数が、それぞれの運動量領域における最低（k=0の場合は第二最低）固有値に対応し、固有値はεに関して解析的である。
• 分散関係E(k) = 2 + ∑_{s∈ℤ} d_s e^{iks} は、絶対収束するフーリエ係数d_sを有し、s ≠ 0に対して|d_s| ≤ C ε^mである。
• 解の存在は、εが小さい場合に固有値が分離されており、degeneracyがないことを示し、レベルクロッシングを防ぐ。
• 鎖の長さNに依存しない推定を用いることで、Nに関して一様に収束し、厳密な無限大N極限を可能にする。
• フーリエ係数d_sがε^m次のオーダーであることが示され、m体過程からの一次摂動的寄与と整合的である。