[論文レビュー] Expansions for one quasiparticle states in spin 1/2 systems

Nilanjana Datta, Tom Kennedy|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2001

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子スピン1/2系における1クーパーパートナーステートの収束する展開法を開発し、Perron-Frobenius 条件を満たさない場合にも Kirkwood-Thomas 法を拡張する。単一クーパーパートナーステートの分散関係が結合定数のべき級数として収束することを証明し、$ε > 0$ のときエネルギー最小値が運動量 $k = (π,\dots,\u03c0)$ で達成されることを示す。この手法は運動量に基づくアンサンブルと展開係数の不動点方程式に依存し、収縮写像の議論により収束性を保証する。

ABSTRACT

Convergent expansions of the wavefunctions for the ground state and low-lying excited states of quantum transverse Ising systems are obtained. These expansions are employed to prove that the dispersion relation for a single quasi-particle has a convergent expansion.

研究の動機と目的

• 量子スピン1/2系における基底状態に限らない低エネルギー励起状態に Kirkwood-Thomas 法を拡張し、局所的相互作用に対して Perron-Frobenius 条件を必要としないようにすること。
• 運動量に基づくアンサンブルを用いて、1クーパーパートナーステートの収束的展開を開発し、そのスペクトル的性質を厳密に解析可能にする。
• 単一クーパーパートナーステートの分散関係が結合パrameter $ε$ について収束するべき級数展開を持つことの証明。
• クーパーパートナーステートの波動関数とそれに関連するエネルギー分散の無限体積極限の存在を確立すること。

提案手法

• 空間並進に対して平面波として変換するものと仮定して、運動量に基づくアンサンブルを用いてクーパーパートナーステートを構成する。
• クーパーパートナーステートの波動関数は $\psi_k^\alpha(\sigma) = \psi(\sigma) \sum_X e_\alpha(X) \phi_{X,k}(\sigma)$ と展開され、係数 $e_\alpha(X)$ は不動点方程式を満たす。
• 不動点方程式はシュレーディンガー方程式から導かれ、収縮写像定理を用いて解かれ、$ε$ が小さい場合に収束することが保証される。
• 有限集合上の関数空間にノルムを導入し、$|e_s| \leq (|\epsilon|M)^{|s|} ||e||$ のような評価を用いることで、指数的減衰と収束性を保証する。
• 有限体積解と無限体積解の差が系サイズ $L$ に対して指数的に減少することを示すことにより、無限体積極限を確立する。
• 分散関係 $\Delta(k)$ は展開によって計算され、一次項が $2\epsilon \sum_{i=1}^d \cos(k_i)$ であり、高次項は $ε^2$ のオーダーである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スピン1/2系における単一クーパーパートナーステートの分散関係は、結合定数 $ε$ について収束するべき級数展開を持つのか？
• RQ2 Kirkwood-Thomas 法は、局所的相互作用に Perron-Frobenius 条件を課さずに励起状態へ一般化可能か？
• RQ3 横方向イジング模型において、分散関係の最小値はどこに位置し、$ε$ の符号にどのように依存するか？
• RQ4 最低励起状態は明確な運動量を有するのか？ また、収束的展開によって構成可能か？
• RQ5 クーパーパートナーステートの波動関数とエネルギースペクトルは、無限体積極限においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 分散関係 $\Delta(k)$ は $ε$ のべき級数として収束する展開を持つ。一次項は $2\epsilon \sum_{i=1}^d \cos(k_i)$ である。
• $\u03b5 > 0$ のとき、分散関係の最小値は $k = (\u03c0, \dots, \u03c0)$ で達成され、高次項補正があっても小さな $ε$ に対してはこの性質が保たれる。
• 展開における係数 $e_s$ は $|\epsilon|^{|s|}$ のオーダーであり、収縮写像定理により、全解 $e_\alpha(X)$ は局所的に一意である。
• クーパーパートナーステートの波動関数の無限体積極限は存在し、指数的に局在化している。有限体積バージョンとの差は $e^{-cL}$ のオーダーで減少する。
• 第二固有関数 $\psi'$ が $\psi_{k_0}$ の定数倍であることが示され、構築された状態が実際に最低励起状態であることが確認された。
• 本手法は、Perron-Frobenius 条件を満たさないハミルトニアンに対しても適用可能であり、たとえば $H = -\sum_i \sigma^x_i + \epsilon \sum_{\langle ij\rangle} (\sigma^z_i\sigma^z_j + J\sigma^y_i\sigma^y_j)$ において $J \neq 1$ の場合にも適用可能である。