[論文レビュー] Expansions for Quantiles and Multivariate Moments of Extremes for Distributions of Pareto Type

Saralees Nadarajah, Christopher S. Withers|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Probability and Risk Models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、パレート型分布からの極値順序統計量の分位数および多次元モーメントの漸近展開を開発する。逆変換定理を用いて、$ n $ および $ n^{-\beta/\alpha} $ の逆べき乗における級数展開を導出する。主な貢献は、コーシー分布、スチューデント $ t $、$ F $、安定分布を含む分布に適用可能な一般枠組みを提供することであり、明示的な誤差項を伴う極値のモーメントの高精度近似を可能にする。

ABSTRACT

Let $X_{nr}$ be the $r$th largest of a random sample of size $n$ from a distribution $F (x) = 1 - \sum_{i = 0}^\infty c_i x^{-α- i β}$ for $α> 0$ and $β> 0$. An inversion theorem is proved and used to derive an expansion for the quantile $F^{-1} (u)$ and powers of it. From this an expansion in powers of $(n^{-1}, n^{-β/α})$ is given for the multivariate moments of the extremes $\{X_{n, n - s_i}, 1 \leq i \leq k \}/n^{1/α}$ for fixed ${\bf s} = (s_1, ..., s_k)$, where $k \geq 1$. Examples include the Cauchy, Student $t$, $F$, second extreme distributions and stable laws of index $α< 1$.

研究の動機と目的

• べき乗法則を有する尾部を持つ分布からの極値順序統計量の分位数および多次元モーメントの漸近展開を導出すること。
• 既存の極値モーメントの漸近結果を、$ n^{-1} $ および $ n^{-\beta/\alpha} $ の高次項を含む、一次近似を超えるものへと拡張すること。
• コーシー、スチューデント $ t $、$ F $、および $ \alpha < 1 $ の安定分布を含む、広範なスケーリング重尾分布のクラスに一般化可能な手法を提供すること。
• 分布関数の尾部挙動と分位数関数の展開を結びつける厳密な逆変換定理を確立すること。

提案手法

• 尾部展開 $ 1 - F(x) = x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $ をもとに、分位数関数 $ F^{-1}(u) $ を $ (1-u)^{\alpha_i} $ のべき級数として表現する逆変換定理を導出する。ここで $ \alpha_i = (i\beta - 1)/\alpha $ である。
• 高次モーメントの計算に、ベル多項式および母関数を用いて、正規化された極値 $ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ のモーメントを扱う。
• 極値のモーメントを $ n^{-1} $ および $ n^{-\beta/\alpha} $ のべき乗の級数として展開し、尾部展開のパラメータ $ c_i $ から導かれる係数を用いる。
• 再帰的係数計算を用いて、$ EY_{n,s} $、$ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $、および $ \text{Covar}(Y_{n,s_1}, Y_{n,s_2}) $ の明示的展開を $ O(n^{-3}) $ まで得る。
• 特定の分布に対して、$ \alpha $、$ \beta $、$ c_i $ を特定することで、モーメント展開の直接計算が可能となる枠組みを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 べき乗法則を有する尾部を持つ分布に対して、極値順序統計量のモーメントの高次漸近展開をどのように導出できるか？
• RQ2 分布の尾部が $ 1 - F(x) \sim x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $ を満たすとき、分位数関数の展開の構造はどのようなものか？
• RQ3 正規化された極値 $ X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ のモーメントは、$ n^{-1} $ および $ n^{-\beta/\alpha} $ の観点からどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 この手法を、スチューデント $ t $、$ F $、安定分布などの標準的な重尾分布に体系的かつ一貫して適用可能か？

主な発見

• コーシー分布に対して、$ EY_{n,s} $ の一次近似は $ s^{-1} - n^{-2}\pi^2(s+1) + O(n^{-3}) $ であり、ここで $ Y_{n,s} = (\pi/n)X_{n,n-s} $ である。
• コーシー分布の同時第二モーメント $ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $ は、$ (1 - n^{-1})(s_1 - 1)^{-1}s_2^{-1} - n^{-2}\pi^2 D_{2,{\bf s}}/3 + O(n^{-3}) $ に等しく、ここで $ D_{2,{\bf s}} = (s_2 + 1)/(s_1 + 1) + s_1/s_2 $ である。
• 自由度 $ N $ のスチューデント $ t $ 分布に対して、展開は $ n^{-2/N} $ のべき乗を含み、最初の補正項は $ n^{-2/N} $ の次数に現れる。
• $ N > 2 $ の $ F $-分布に対しては、展開が $ O(n^{-2a_0}) $ まで有効であり、ここで $ a_0 = \min(2/(N-2), 1) $ であり、$ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/(n c_0)^{1/\alpha} $ である。
• 指数 $ \alpha < 1 $ の安定分布に対しては、展開により $ O(n^{-2}) $ までモーメントが得られ、$ a = 1 $ であり、最初の補正項は $ n^{-1} $ の次数に現れる。