[論文レビュー] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series: Multiplicities 1 to 8 and Beyond

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、L²([t,T]^k)における一般化多重フーリエ級数を用いて、反復ストラトノビッチ確率積分（次数1〜8）の新規展開を提示する。この手法は、ルジャンドル多項式および三角関数系の両方を活用し、平均二乗収束を1回の極限遷移で保証する。これにより、非可換なノイズを伴う多次元 Ito SDE の数値解法における計算効率が著しく向上する。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals are obtained for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities $k=1,\ldots,6$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained. These results are generalized to the case of multiplicitity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (Theorems 51, 53) but under one additional condition. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

研究の動機と目的

• 任意の次数kにおける反復ストラトノビッチ確率積分の展開を、L²([t,T]^k)における一般化多重フーリエ級数を用いて一般化する手法の開発。
• 既存の次数1〜6の結果をk=7およびk=8に拡張し、さらにトレース級数の収束条件の下で一般のk ∈ ℕに対しても拡張する。
• 既存の手法と比較して、複数の極限遷移を避ける1回の極限遷移でのみ平均二乗収束を保証し、計算効率を向上させる。
• ルジャンドルおよび三角関数フーリエ級数の両方について明示的な展開を提供し、収束速度の見積もりを併記する。
• L²([t,T])における任意の完全正規直交系およびさまざまな重み関数（定数および二項係数を含む）への一般化。

提案手法

• 反復ストラトノビッチ積分の一般化多重フーリエ級数展開を、L²([t,T]^k)で実施する。
• 正規直交系（ルジャンドル多項式および三角関数）に対する一般化多重フーリエ級数法を適用する。
• パーソバルの等式およびコーシー＝ブニャコフスキーの不等式を用いて、級数係数の一様な上限を導出する。
• 係数の積分表現とメジャーントの可積分性を用いて収束見積もりを導出する。
• 従来の手法で一般的に見られる複数の極限プロセスを避けるために、展開に1回の極限遷移を導入する。
• 積分とその展開の差の数学的期待値がp→∞のとき0に収束することを証明することで、平均二乗収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数1〜8の反復ストラトノビッチ確率積分を、一般化多重フーリエ級数を用いてどのように展開できるか。
• RQ2 次数2〜4において、これらの展開の平均二乗収束速度はどのようになるか。
• RQ3 関連するボルテラ型積分作用素のトレース級数が収束する条件の下で、展開を任意の次数k ∈ ℕに一般化できるか。
• RQ4 異なる重み関数（例：定数、連続的に微分可能な関数、二項係数）および正規直交系の下で、展開はどのように振る舞うか。
• RQ5 任意の正規直交系への一般化において、ϕ₀(x) = 1/√(T−t)および積分可能条件ψₗψₗ₋₁ ∈ L²([t,T])を省略可能か。

主な発見

• 次数k=1〜8の展開は、L²([t,T]^k)において平均二乗収束を示し、1回の極限遷移によって収束が確立される。
• 次数2〜4において、収束速度はp→∞のときO(p⁻¹)として見積もり可能である。ここでpは切り捨てインデックスである。
• 関連するボルテラ型積分作用素のトレース級数が収束する条件の下で、本手法は任意のk ∈ ℕに一般化可能である。
• パーソバルの等式およびコーシー＝ブニャコフスキーの不等式を用いて、係数級数の一様な上限が導出され、可積分なメジャーントが得られる。
• 真のストラトノビッチ積分への展開の収束は、数学的期待値の観点から証明されており、limₚ→∞𝔼|J* − ∑Cⱼ₁…ⱼₖ∏ζⱼₗ⁽ⁱˡ⁾| = 0が成り立つ。
• 追加の仮定の下で、ϕ₀(x) = 1/√(T−t)およびψₗψₗ₋₁ ∈ L²([t,T])の条件を省略可能であり、適用範囲が拡張される。