[論文レビュー] Expansions of the reals which do not define the natural numbers

Antongiulio Fornasiero|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自然数を定義しない実数の一次拡張、特にi-最小的および制限付き構造に焦点を当て、三つの「なめらかさ」条件——内部を持つこと、またはどこでも稠密でないこと、零測度であること、またはハウスドルフ次元がゼロであること——の同値性を確立し、i-最小性が定義可能な集合に対して、次元および可測性のよい性質を示すことを示している。

ABSTRACT

We study first-order expansions of the reals which do not define the set of natural numbers. We also show that several stronger notions of tameness are equivalent to each others.

研究の動機と目的

• 自然数を定義しない実数の拡張を特徴づけること。特に、モデル理論的「なめらかさ」に注目する。
• i-最小性、d-最小性、制限付き構造といった、さまざまな「なめらかさ」の概念の関係を明確化すること。
• 定義可能な離散集合の像がどこでも稠密でない構造（制限付き構造）が、自然数を定義するか、あるいはi-最小的であるかを調査すること。
• 制限付き構造における、標準的な次元公理を満たす「よい」次元関数の存在と性質を調査すること。
• 制限付き構造における病理的性質、例えば非可測集合や非プレジョイティブ集合が定義可能であるかを検討すること。

提案手法

• モデル理論的「なめらかさ」の定義を用いる：i-最小性（Rにおける定義可能な集合は、内部を持つか、またはどこでも稠密でない）；d-最小性（定義可能な集合は離散集合の有限和）；制限付き性（定義可能な関数による離散集合の像はどこでも稠密でない）。
• 位相的および測度論的道具を適用：ルベーグ測度、ハウスドルフ次元、および「ほとんど開集合」の概念。
• 開核（open core）の概念と、特に開核がo-最小的な拡張におけるo-最小性との関係を用いる。
• 既知のo-最小性およびトウムジオメトリの結果を活用する。特に、次元公理および定義可能な関数の性質。
• Miller（2005）およびHieronymi（2010）の定理を用いて、Nの定義可能性と構造のなめらかさの間の含意関係を導出する。
• 定義可能な集合上の定義可能な関数を分析し、単調な定義可能な関数が、閉じたどこでも稠密でない集合の外ではC¹であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義可能なRの部分集合について、i-最小性、零測度性、ハウスドルフ次元ゼロという概念は同値か？
• RQ2 任意の制限付き実数拡張は、自然数を定義するか、あるいはi-最小的か？
• RQ3 制限付き構造において、標準的な次元公理を満たす「よい」次元関数が存在するか？
• RQ4 制限付き構造において、ルベーグ可測でない、またはプレジョイティブでない定義可能な集合が存在するか？
• RQ5 制限付き構造の開核は、依然としてi-最小的か？

主な発見

• 定理1.1は、三つのなめらかさ条件の同値性を確立する：Rの任意の定義可能な部分集合は、内部を持つか、またはどこでも稠密でない、または零測度、またはハウスドルフ次元がゼロである。
• 定理1.3は、i-最小的構造において、任意の空でない定義可能な集合がルベーグ可測であり、ほとんど開であり、かつそのハウスドルフ次元が直交投影による次元と一致することを示す。
• 定理1.4（C. Millerによる）は、次のように述べている：o-最小的構造が、次元ゼロの閉集合を拡張すると、その結果得られる構造は、Nを定義するか、あるいはその拡張がi-最小的である。
• 事実1.7は、二分岐を確立する：構造はNを定義するか、あるいは制限付きである。これは、Nを定義しないためには制限付き性が必要条件であることを示している。
• 系1.8は、構造の理論が決定可能であれば、その構造は制限付きでなければならないが、その逆は成り立たないことを示す。
• 本稿は、非可測集合や非プレジョイティブ集合を定義可能な制限付き構造の例を提示し、測度論的性質に病理的であるが、モデル理論的には依然として「なめらか」な構造が存在しうることを示している。