[論文レビュー] Expansions, omitting types, and standard systems

Fredrik Engström|ArXiv.org|Oct 25, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、算術のモデルにおける再帰的飽和の変種を調査し、理論の拡張に加えて特定の型を省略するというより強い拡張可能性の性質を導入する。そのうちの1つの性質がβ-飽和と同値であることが示され、また、マーティンの公理の下で、その変種が標準的システムと関連づけられる。これはPAのモデルにおける算術的飽和と型の省略の理解に貢献する。

ABSTRACT

Recursive saturation and resplendence are two important notions in models of arithmetic. Kaye, Kossak, and Kotlarski introduced the notion of arithmetic saturation and argued that recursive saturation might not be as rigid as first assumed. In this thesis we give further examples of variations of recursive saturation, all of which are connected with expandability properties similar to resplendence. However, the expandability properties are stronger than resplendence and implies, in one way or another, that the expansion not only satisfies a theory, but also omits a type. We conjecture that a special version of this expandability is in fact equivalent to arithmetic saturation. We prove that another of these properties is equivalent to β-saturation. We also introduce a variant on recursive saturation which makes sense in the context of a standard predicate, and which is equivalent to a certain amount of ordinary saturation. The theory of all models which omit a certain type p(x) is also investigated. We define a proof system, which proves a sentence if and only if it is true in all models omitting the type p(x). The complexity of such proof systems are discussed and some explicit examples of theories and types with high complexity, in a special sense, are given. We end the thesis by a small comment on Scott's problem. We prove that, under the assumption of Martin's axiom, every Scott set of cardinality <2^{\aleph_0} closed under arithmetic comprehension which has the countable chain condition is the standard system of some model of PA. However, we do not know if there exists any such uncountable Scott sets.

研究の動機と目的

• 標準的resplendenceを越えて、型の省略を組み込んだ再帰的飽和の変種を調査すること。
• 拡張可能性の性質と算術的飽和との関係、特に特定の拡張可能性条件が算術的飽和と同値であるかどうかを調査すること。
• 標準的述語を前提とした再帰的飽和の変種を定義し、通常の飽和の特定の段階と関連づけること。
• 固定された型 p(x) を省略するモデルの理論を研究し、そのすべてのモデルで真である文を特徴づける証明系を構築すること。
• 特定の型を省略する理論の証明系の複雑さを分析し、高次の論理的複雑性を示す理論および型の例を提供すること。

提案手法

• 理論の拡張と型の省略を両立させる、より強いresplendenceより強い新しい拡張可能性条件を導入する。
• モデル理論的技法を用いて、新しい拡張可能性性質とβ-飽和の同値性を示す。
• 標準的述語を前提とした再帰的飽和の変種を定義し、それが特定のレベルの通常の飽和と同値であることを示す。
• ある文が固定された型 p(x) を省略するすべてのモデルで真である場合に限り、それを証明する証明系を構築する。
• そのような証明系の複雑さを分析し、論理的複雑性が高くなる条件を特定する。
• マーティンの公理を用いて、$2^{eth_0}$ 未満の濃度で、算術的コンprehensionについて閉じていて、可算鎖条件を満たす、非可算なスコット集合が、PAのモデルの標準的システムとして現れることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的飽和と同値である特定の拡張可能性性質が存在するか？
• RQ2 標準的述語を前提とした再帰的飽和の変種が、通常の飽和の特定の段階に対応することが示せるか？
• RQ3 特定の型を省略するモデルで真である文を特徴づける証明系の論理的複雑さは何か？
• RQ4 どのような集合論的仮定の下で、非可算なスコット集合がPAのモデルの標準的システムとして実現可能か？
• RQ5 定義可能性およびモデル理論的複雑性の意味で、高次の複雑性を持つ理論および型の明示的例は存在するか？

主な発見

• 理論の拡張と型の省略を両立させる特定の拡張可能性性質が、β-飽和と同値であることが証明された。
• 標準的述語を前提とした再帰的飽和の変種が、特定のレベルの通常の飽和と同値であることが示された。
• ある文が固定された型 p(x) を省略するすべてのモデルで真である場合に限り、それを証明する証明系が構築された。
• その証明系の複雑さが分析され、高次の複雑性を持つ理論および型の明示的例が提供された。
• マーティンの公理の下で、$2^{eth_0}$ 未満の濃度で、算術的コンprehensionについて閉じていて、可算鎖条件を満たすすべてのスコット集合が、PAのモデルの標準的システムとして現れる。
• 算術的コンprehensionについて閉じていて、可算鎖条件を満たすが、標準的システムでない非可算なスコット集合の存在は未解決のままである。