[論文レビュー] Expansive multiparameter actions and mean dimension

Tom Meyerovitch, Masaki Tsukamoto|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、平均次元理論を用いて、Maの拡張的同相写像に関する定理を多パrameter作用へ一般化する。$Δ^k$-作用が拡張的であり、$Δ^{k-1}$-作用と可換であるならば、後者は有限な平均次元を持つことを証明する。これは、$k=1$ の場合のMaの結果を高次元へ拡張するものであり、拡張性と平均的位相的複雑性の関係を明らかにする。

ABSTRACT

Mañé (1979) proved that if a compact metric space admits an expansive homeomorphism then it is finite dimensional. We generalize this theorem to multiparameter actions. The generalization involves mean dimension theory, which counts "averaged dimension" of a dynamical system. We prove that if $T:\mathbb{Z}^k imes X o X$ is expansive and if $R:\mathbb{Z}^{k-1} imes X o X$ commutes with $T$ then $R$ has finite mean dimension. When $k=1$, this statement reduces to Mañé's theorem. We also study several related issues, especially the connection with entropy theory.

研究の動機と目的

• Maの定理（1979年）を、拡張的同相写像が有限次元位相次元をもたらすものとして、より高いランクの $Δ^k$-作用へ拡張すること。
• トポロジー的エントロピーがゼロであるにもかかわらず、無限次元空間に拡張的 $Δ^k$-作用が存在するという、以前の例で生じた見かけの矛盾を解消すること。
• 平均次元を用いて、特に拡張的作用の文脈において、力学系の「平均次元」を測るフレームワークを確立すること。
• 高ランク系における、拡張性、作用の可換性、および有限な平均次元との関係を明確にすること。
• 多パrameter力学系における平均次元とエントロピー理論との関係を調査すること。

提案手法

• 平均次元理論を位相不変量として導入・適用し、力学系の平均的複雑性を定量化する。
• すべての群元における一様な分離条件を用いて、$Δ^k$-作用の拡張的作用を定義する。
• $T:Δ^k × X → X$ と $R:Δ^{k-1} × X → X$ の可換性を用いて、軌道の構造と分離性の性質を分析する。
• 積空間における測度的エントロピーと幅を制御するため、自由変数をインデックス付けるネストされた集合列 $I_n$ を構成する。
• 測度的球に幅関数 $\mathrm{Widim}_\varepsilon$ を適用し、$\ell^\infty$-距離を用いて測度的複雑性の下界を評価する。
• 拡張するボックス $(-N,N)^k$ における極限比を用いた方向的平均次元を用いて、複雑性の正値性および有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Maの定理（拡張的性が成り立つと有限次元位相次元が導かれる）は、$k > 1$ の $Δ^1$-作用から $Δ^k$-作用へ拡張可能か？
• RQ2 トポロジー的エントロピーがゼロである場合でも、平均次元は拡張的 $Δ^k$-作用の複雑性をどのように測定するか？
• RQ3 なぜ一部の無限次元空間に拡張的 $Δ^k$-作用が存在するのか？平均次元はこのパラドックスをどのように解消するか？
• RQ4 2つの作用（$T$ と $R$）の可換性は、低ランク作用 $R$ の平均次元にどのように制約を加えるか？
• RQ5 力学系の方向的平均次元と、その記号的表現における自由変数の密度との間に、定量的な関係があるか？

主な発見

• もし $T:Δ^k × X → X$ が拡張的であり、$R:Δ^{k-1} × X → X$ が $T$ と可換であるならば、$\mathrm{mdim}(X,R) < \infty$ である。
• $k=1$ の場合、この結果はMaの元の定理に還元される：コンパクトな距離空間上の拡張的同相写像は、有限次元位相次元をもたらす。
• $([0,1]^D)^{Δ^k}$ 上のシフトの平均次元は $D$ であり、$([0,1]^\mathbb{N})^{Δ^k}$ 上のシフトの平均次元は無限大である。
• 例1.3(1)では、シフト $\sigma$ の平均次元は2である一方、$h_\mathbb{Z}$ の平均次元は0である。これは、無限次元系においても有限な平均次元が存在することを示している。
• 直線 $L$ に沿った $X × X'$ の方向的平均次元は、方向に応じて $1/(2\beta)$ または $1/2$ 以上であることが下界として示され、複雑性の正値性が証明される。
• $I_n$ の構成により、$|I_n| / (3^n L_0 \cdots L_n) > 1/2$ が成り立つ。これは自由変数の正の密度を示し、幅の下界を支持する。