[論文レビュー] Expected exit times of Brownian motion from planar domains: Complements to a paper of Markowsky

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、共形写像とポテンシャル理論を用いて、平面領域からのブラウン運動の期待抜出し時間に関するマークォスキーの研究を拡張する。楔型領域、半円板、n角形、その他の対称的領域における期待抜出し時間の正確な解析的解を提供し、一般化超幾何関数およびアペル F1 関数やディログ動関数などの特殊関数を含む閉形式の式を導出する。

ABSTRACT

We supplement a very recent paper of G. Markowsky concerned with the expected exit times of Brownian motion from planar domains. Besides the use of conformal mapping, we apply results from potential theory. We treat the case of a wedge-shaped region exactly, subsuming an example of Markowsky. A number of other results are presented, including for a half disc, $n$-grams, and a variety of other regions.

研究の動機と目的

• 単連結な平面領域からのブラウン運動の期待抜出し時間に関するマークォスキーの最近の結果を拡張すること。
• 共形写像とポテンシャル理論を用いて、対称的かつ多角形領域における期待抜出し時間の正確な解析的解を提供すること。
• 楔型領域、半円板、正n角形における期待抜出し時間の閉形式の式を導出すること。
• ポテンシャル理論とグリーン関数法を用いて、ディリクレ境界条件を満たすポアソン方程式を解くこと。
• 一般化超幾何関数やアペル F1 関数などの特殊関数と確率的抜出し時間との関係を調査すること。

提案手法

• 目的の領域を単位円に共形写像することで、ブラウン運動の抜出し時間に関する既知の結果の適用を可能にする。
• マーティンググールの停止定理から導かれる式 $ E_{f(0)}[\tau(f(D))] = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 $ を用いて、期待抜出し時間を計算する。
• グリーン関数 $ G(x,y) $ を用いて、領域内で $ \nabla^2 u = -2 $ かつディリクレ境界条件を満たすポアソン方程式を解き、$ E_x[\tau] = \int_R G(x,y) dy $ と表す。
• 一般化超幾何関数 $ {}_4F_3 $、アペル F1 関数、およびディログ動関数 $ \text{Li}_2 $ などの特殊関数を用いて、解を閉形式で表現する。
• 直交性およびフーリエ級数技法を用いて、対数関数およびグリーン関数の積分の積分表現と級数展開を導出する。
• 補題3および命題6を用いて、対数項を含む角積分を評価し、ディログ動関数および三角関数級数の形で表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角度 $ \pi/m $ の楔型領域において、原点から出発するブラウン運動の正確な期待抜出し時間は何か？
• RQ2 ポテンシャル理論と共形写像を用いて、半径 $ r_0 $ の半円板における期待抜出し時間を正確に計算する方法は何か？
• RQ3 一般化超幾何関数を用いて、正n角形における期待抜出し時間の閉形式の式は存在するか？
• RQ4 対称的多角形領域（例：正三角形、長方形）における解が、ディリクレ境界条件を満たすラプラシアンの固有関数とどのように関係するか？
• RQ5 グリーン関数法を、非対称的または不規則な平面領域に対しても体系的に応用して、期待抜出し時間を導出できるか？

主な発見

• 角度 $ \pi/m $ の楔型領域におけるブラウン運動の期待抜出し時間は正確に導出され、マークォスキーの例を包含し、共形写像によって一般化されている。
• 半径 $ r_0 $ の半円板において、中心からの期待抜出し時間は $ \frac{1}{2}(r_0^2 - r^2) $ であり、グリーン関数の積分により既知の結果が再現されている。
• 正m角形 $ U_m $ における期待抜出し時間は、$ E_0[\tau(U_m)] = \frac{m^2}{2B^2(1/m, 1-2/m)} \cdot {}_4F_3\left(\frac{1}{m}, \frac{1}{m}, \frac{2}{m}, \frac{2}{m}; 1+\frac{1}{m}, 1+\frac{1}{m}, 1; 1\right) $ で与えられ、ベータ関数および一般化超幾何関数を含む。
• ディログ動関数を含む新しい積分恒等式が導出された：$ \int_0^\pi \ln(r^2 + \rho^2 - 2r\rho\cos(\theta \mp \phi)) d\phi = 2\pi \ln r \pm i[\cdots] $、これは $ \text{Li}_2 $ 関数で表現される。
• グリーン関数の積分により、円板内でのポアソン方程式 $ \nabla^2 u = -2 $ の正確な解 $ u(r) = \frac{1}{2}(r_0^2 - r^2) $ が回復され、既知の結果と整合していることが確認された。
• フーリエ展開およびポッホハマー記号の恒等式を用いた体系的な手法により、対数項の角積分を評価でき、特殊関数による表現の導出が可能になった。