[論文レビュー] Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management

Carlo Acerbi, Claudio Nordio+1 more|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Risk and Portfolio Optimization被引用数 159

ひとこと要約

この論文は、期待ショートフォール（ES）が、VaRとは異なり、劣加法的かつ一貫性のあるため、金融リスク管理におけるVaRより優れたリスク指標であると主張している。VaRは尾部損失のプロファイルの違いを区別できないが、ESはその点で優れている。著者らはESの劣加法性を形式的に証明し、規制およびリスク管理フレームワークにおけるESの導入を提唱している。

ABSTRACT

We study the properties of Expected Shortfall from the point of view of financial risk management. This measure --- which emerges as a natural remedy in some cases where Value at Risk (VaR) is not able to distinguish portfolios which bear different levels of risk --- is indeed shown to have much better properties than VaR. We show in fact that unlike VaR this variable is in general subadditive and therefore it is a Coherent Measure of Risk in the sense of reference (artzner)

研究の動機と目的

• VaRが異なる尾部リスク露出を持つポートフォリオを区別できないという限界を是正すること。
• 一般の場合におけるESの劣加法性を証明することで、ESが一貫性のあるリスク指標であることを示すこと。
• 不連続な分布や分位数の曖昧さを考慮した、ESの数学的に厳密な定義を提示すること。
• ESが尾部リスクをより適切に捉える優れた性質を持つことから、金融リスク管理におけるVaRの代替としてESの導入を主張すること。
• 同じVaR値を示すが、最悪損失の分布が著しく異なるポートフォリオに対して、VaRがリスクを同一視してしまうというパラドックスを解消すること。

提案手法

• 累積分布関数に不連続性がある場合を考慮し、最悪のq%の結果における期待損失をq-テイル平均として定義する。
• 分位数に正の確率質量が集中する場合に対応するため、修正されたインジケータ関数 1^q_{X≤x_q} を導入する。
• 期待値の不等式および修正インジケータ関数の性質を用いて、ESの劣加法性を証明する。
• ESをリスク指標として形式化する：ES_{q,T}(Π) = D^{-1}(0,T)Π(0) - Ŕ_Π,q(T)，ここで Ŕ_Π,q(T) は時刻Tにおけるポートフォリオ価値のq-テイル平均である。
• 劣加法性の証明を基に、ESが一貫性の公理（特に劣加法性）を満たすことを示し、VaRが満たさない点を強調する。
• VaRとESを、同じ5% VaRを持つが尾部損失の深刻さが著しく異なるポートフォリオに対して適用したパラドキシカルな例を通じて比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜVaRは、同じVaR値を示すが尾部損失特性が異なるポートフォリオを区別できないのか？
• RQ2 非正規分布や不連続なリターン分布に対しても、一般にESは劣加法的であるか？
• RQ3 Artznerらの公理に基づき、ESを形式的に定義し、一貫性のあるリスク指標として証明できるか？
• RQ4 どのような数学的定式化により、ESは極端な市場環境下でVaRよりも尾部リスクを的確に捉えることができるのか？
• RQ5 ESの劣加法性は、VaRと比較して、分散化されたポートフォリオのリスク管理にどのように寄与するのか？

主な発見

• 分位数の曖昧さを扱える適切なインジケータ関数を構築することで、不連続な分布に対しても一般にESが劣加法的であることが証明された。
• 本論文は、同じ5% VaRを持つが、一方は最悪損失が有界で他方は無限大に達する可能性があるという状況において、VaRが両者に同一のリスクを割り当てるというパラドックスを解消した。
• ESは、劣加法性を含む4つの公理をすべて満たすため、一貫性のあるリスク指標である。VaRは劣加法性を満たさない点で劣っている。
• ESの劣加法性により、分散化の効果がリスク評価に適切に反映される。これに対してVaRは、この原則を破る可能性がある。
• 著者らは、特に尾部リスクを的確に捉える点で、ESが金融リスク管理においてVaRよりもより強固で信頼性が高い指標であると結論づけた。
• 修正インジケータ関数 1^q_{X≤x_q} を用いることで、任意の分布（離散的ジャンプを含む）に対して劣加法性の形式的証明が有効であることが示された。