[論文レビュー] Expected signature of two dimensional Brownian Motion up to the first exit time of the domain

Terry Lyons, Hao Ni|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界領域の境界で吸収される2次元ブラウン運動の期待値シグネチャが、境界条件を伴う楕円型偏微分方程式系を満たすことを調査している。滑らかさと有界性の仮定の下で、再帰的ソボレフ推定により、シグネチャ項の幾何的減衰バウンドが得られるが、ユニットディスクですら、シグネチャ分布の完全な同定は未解決のままである。

ABSTRACT

The signature of a path provides a top down description of the path in terms of its effects as a control [Differential Equations Driven by Rough Paths (2007) Springer]. The signature transforms a path into a group-like element in the tensor algebra and is an essential object in rough path theory. The expected signature of a stochastic process plays a similar role to that played by the characteristic function of a random variable. In [Chevyrev (2013)], it is proved that under certain boundedness conditions, the expected value of a random signature already determines the law of this random signature. It becomes of great interest to be able to compute examples of expected signatures and obtain the upper bounds for the decay rates of expected signatures. For instance, the computation for Brownian motion on $[0,1]$ leads to the ``cubature on Wiener space'' methodology [Lyons and Victoir, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 460 (2004) 169-198]. In this paper we fix a bounded domain $\Gamma$ in a Euclidean space $E$ and study the expected signature of a Brownian path starting at $z\in\Gamma$ and stopped at the first exit time from $\Gamma$. We denote this tensor series valued function by $\Phi_{\Gamma}(z)$ and focus on the case $E=\mathbb{R}^d$. We show that $\Phi_{\Gamma}(z)$ satisfies an elliptic PDE system and a boundary condition. The equations determining $\Phi_{\Gamma}$ can be recursively solved; by an iterative application of Sobolev estimates we are able, under certain smoothness and boundedness condition of the domain $\Gamma$, to prove geometric bounds for the terms in $\Phi_{\Gamma}(z)$. However, there is still a gap and we have not shown that $\Phi_{\Gamma}(z)$ determines the law of the signature of this stopped Brownian motion even if $\Gamma$ is a unit ball.

研究の動機と目的

• 有界領域から最初の抜出自時まで停止する2次元ブラウン運動の期待シグネチャを特徴付けること。
• 期待シグネチャテンソル級数を記述する楕円型PDE系を確立すること。
• 領域の滑らかさと有界性の条件下で、期待シグネチャの項に対する幾何的減衰バウンドを導出すること。
• 期待シグネチャが、停止ブラウン運動のシグネチャの分布を完全に決定するかどうかを調査すること。

提案手法

• 領域Γ上で定義されたテンソル級数値関数ΦΓ(z)として期待シグネチャをモデル化する。
• ブラウン運動の生成作用素と伊藤の公式に基づき、ΦΓ(z)が満たす楕円型PDE系を導出する。
• シグネチャ展開における個々のテンソル成分の成長を制御するため、ソボレフ推定を再帰的に適用する。
• 領域の滑らかさと有界性の仮定を用いて、シグネチャ項の減衰率を一様に制御する。
• テンソル代数におけるシグネチャのグループ的構造を活用し、確率積分の下でのシステムの挙動を分析する。
• 最初の抜出自時停止ルールに起因する境界条件を分析し、PDE定式化と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ブラウン運動の最初の抜出自時までの期待シグネチャは、最初の抜出自時停止ルールに由来する境界条件を伴うwell-definedな楕円型PDE系を満たすか？
• RQ2 滑らかで有界な領域の仮定の下で、期待シグネチャの項に対する幾何的減衰バウンドを確立できるか？
• RQ3 期待シグネチャは、停止ブラウン運動のシグネチャの分布をどの程度まで決定するか？
• RQ4 ユニットディスクのような単純な領域ですら、期待シグネチャが停止パスのシグネチャの完全な分布を再構成できるか？
• RQ5 ソボレフ推定は、高次のシグネチャ成分の成長をどの程度制御できるか？

主な発見

• 期待シグネチャΦΓ(z)は、最初の抜⾃時停止ルールに由来する境界条件を伴う楕円型PDE系を満たす。
• 領域Γの滑らかさと有界性の条件下で、再帰的ソボレフ推定により、ΦΓ(z)のテンソル級数展開の項に対する幾何的減衰バウンドが得られる。
• シグネチャ成分の減衰率が幾何的であることが示され、これはテンソル項の順序に対して指数的減衰を意味する。
• これらのバウンドにもかかわらず、本稿ではΦΓ(z)が停止ブラウン運動のシグネチャの分布を一意に決定するかどうかを立証していない。
• ユニットボール領域に対しても、期待シグネチャが全分布を決定することを示すギャップは解消されていない。