[論文レビュー] Experimental Constructions of Binary Matrices with Good Peak-Sidelobe Distances

Jerod Michel|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、巡回行列における差集合およびほぼ差集合を用いて、非周期自己相関における高いピーク側 lob 距離を有する二値行列の決定的構成法を提案する。最適な内部巡回行列を1で周囲うことで、小さな次元において近似的に最適な行列が得られ、理論的限界に非常に近いピーク側 lob 距離を達成する。無限個のこのような行列の族を明示的に構成可能である。

ABSTRACT

Skirlo et al., in 'Binary matrices of optimal autocorrelations as alignment marks' [Journal of Vacuum Science and Technology Series B 33(2) (2015) 1-7], defined a new class of binary matrices by maximizing the peak-sidelobe distances in the aperiodic autocorrelations and, by exhaustive computer searches, found the optimal square matrices of dimension up to 7 x 7, and optimal diagonally symmetric matrices of dimensions 8 x 8 and 9 x 9. We make an initial investigation into and propose a strategy for (deterministically) constructing binary matrices with good peak-sidelobe distances. We construct several classes of these and compare their distances to those of the optimal matrices found by Skirlo et al. Our constructions produce matrices that are near optimal for small dimension. Furthermore, we formulate a tight upper bound on the peak-sidelobe distance of a cer- tain class of circulant matrices. Interestingly, binary matrices corresponding to certain difference sets and almost difference sets have peak-sidelobe distances meeting this upper bound.

研究の動機と目的

• 非周期自己相関特性が優れた二値行列、特に高いピーク側 lob 距離を持つ行列を決定的に構成するための方法を開発すること。
• スキーロらによる最適行列の全探索に依存するのを回避すること。
• 組合せ設計、特に差集合およびほぼ差集合と最適二値行列構成との間の関係を確立すること。
• 巡回行列のクラスにおけるピーク側 lob 距離のタイトな上界を定式化すること。
• 差集合およびほぼ差集合から導かれる行列が、この上界に達することを示し、近似的に最適性を示すこと。

提案手法

• 差集合またはほぼ差集合を定義集合として用い、(M−2)×(M−2) の巡回二値行列を構成し、高いピーク側 lob 距離を達成する。
• 内部行列の周囲に4辺すべてを1で囲むことで、M×M 行列に拡張する。
• 定理を用いて、内部行列の構造的性質を保つことで、結果の行列が高いピーク側 lob 距離を維持することを保証する。
• 巡回部分集合と代数的数論を用いて、差集合およびほぼ差集合の定義集合に基づく行列の分析と構成を行う。
• 差集合またはほぼ差集合を定義集合とする巡回行列のピーク側 lob 距離に対するタイトな上界を導出する。
• 具体的な例による検証と、7から19次の行列のピーク側 lob 距離の表形式の整理を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全探索に頼らずに、高いピーク側 lob 距離を持つ二値行列を決定的に構成することは可能か？
• RQ2 差集合またはほぼ差集合によって定義される巡回二値行列のピーク側 lob 距離のタイトな上界は何か？
• RQ3 差集合およびほぼ差集合から導かれる行列は、この理論的上界に達するか？
• RQ4 決定的構成法は、スキー ロ らが全探索によって得た最適ピーク側 lob 距離にどの程度近づけるか？
• RQ5 このような行列の無限族を体系的にパラメータ化でき、ピーク側 lob 距離を解析的に計算できるか？

主な発見

• 本稿は、小さな次元においてスキー ロ らが報告した最適値に非常に近いピーク側 lob 距離を持つ、無限個の正方二値行列族を構成した。
• 9×9 行列の場合、構成された行列はピーク側 lob 距離28を達成したが、最適値29に非常に近い。
• 7×7 では18、13×13 では52、14×14 では56、15×15 では62、17×17 では84、19×19 では96のピーク側 lob 距離を達成し、いずれも最適値に近く、近似的に最適である。
• 理論的分析により、ペイリー・ハダマール型の (v, (v+1)/2, (v+1)/4)-差集合から導かれる二値行列は、導出されたピーク側 lob 距離の上界に達することが示された。
• 素数 p≡1(mod 4) に対して、(p, (p+1)/2, (p−1)/4, (p−1)/2)-ほぼ差集合を用いた構成により、ピーク側 lob 距離 (p+1)(⌊p²/(4(p−1))⌋+1)+5 の行列が得られた。
• 本稿は、差集合およびほぼ差集合によって定義される巡回行列のピーク側 lob 距離に対してタイトな上界を確立し、特定の行列がこの上界を正確に達成することを示した。