[論文レビュー] Explicit absolute parallelism for $2$-nondegenerate real hypersurfaces $M^5 \subset \mathbb{C}^3$ of constant Levi rank $1$

Samuel Pocchiola|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、定数レヴィランク1の2-非退化な実超曲面 $M^5 \subset \mathbb{C}^3$ に対して、グラフ化関数 $F$ を用いた明示的な絶対平行化を構成することで、定数ねじれを有する標準的コフレームと構造方程式を確立する。主な結果は、$F$ の関数として明示的に計算された2つの不変量 $J$ と $W$ が0に等しいことにより、局所的ビホルモーフィック同値性が光円錐のチューブに特徴づけられることであり、$J$ もしくは $W$ が非ゼロのとき、同値問題は $\{e\}$-構造に還元され、全域的絶対平行化が得られる。

ABSTRACT

We study the local equivalence problem for five dimensional real hypersurfaces $M^5$ of $\mathbb{C}^3$ which are $2$-nondegenerate and of constant Levi rank $1$ under biholomorphisms. We find two invariants, $J$ and $W$, which are expressed explicitly in terms of the graphing function $F$ of $M$, the annulation of which give a necessary and sufficient condition for $M$ to be locally biholomorphic to a model hypersurface, the tube over the light cone. If one of the two invariants $J$ or $W$ does not vanish on $M$, we show that the equivalence problem under biholomophisms reduces to an equivalence problem between $\{e \}$-structures, that is we construct an absolute parallelism on $M$.

研究の動機と目的

• 5次元の実超曲面 $M^5 \subset \mathbb{C}^3$ で、2-非退化かつ定数レヴィランク1を満たすものについて、ビホルモーフィズムの下での局所的同値問題を解くこと。
• このような超曲面が光円錐のチューブに局所的にビホルモーフィック同値であるための条件を、グラフ化関数 $F$ の関数として明示的に得られた不変量 $J$ と $W$ によって特定すること。
• 不変量 $J$ もしくは $W$ が消えない場合に、$M$ 上に絶対平行化を明示的に構成し、同値問題を $\{e\}$-構造に還元すること。

提案手法

• CR構造とレヴィ形式に適合したベクトル場 $\mathscr{L}_1$, $\mathscr{K}$, $\overline{\mathscr{L}}_1$, $\overline{\mathscr{K}}$, および $\mathscr{T} = i[\mathscr{L}_1, \overline{\mathscr{L}}_1]$ を用いて $M$ 上に幾何的フレームを構成する。
• 幾何的構造を符号するための双対コフレーム $\rho_0, \kappa_0, \zeta_0, \overline{\kappa}_0, \overline{\zeta}_0, \pi^1, \pi^2, \overline{\pi}^1, \overline{\pi}^2, \Lambda$ を定義する。
• コフレームの構造方程式を導出し、すべてのねじれ係数がグラフ化関数 $F$ に依存しない定数であることを示す。
• 系を閉じるために1形式 $\Lambda$ を導入し、その外微分を計算することで、定数ねじれを有する最終的な構造方程式を得る。
• $J$ もしくは $W$ が非ゼロのとき、構造方程式が $\{e\}$-構造をなすことを示し、これにより絶対平行化の存在が保証されることを示す。
• モデル超曲面 $u = \frac{z_1\overline{z}_1 + \frac{1}{2}z_1^2\overline{z}_2 + \frac{1}{2}\overline{z}_1^2 z_2}{1 - z_2\overline{z}_2}$ が $J = W = 0$ を満たすことを確認し、特徴づけの正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-非退化かつ定数レヴィランク1をもつ実超曲面 $M^5 \subset \mathbb{C}^3$ が、光円錐のチューブに局所的にビホルモーフィック同値であるための条件は何か？
• RQ2 グラフ化関数 $F$ から得られる明示的な不変量 $J$ と $W$ は、このような超曲面のビホルモーフィック同値類を特定するためにどのように構成できるか？
• RQ3 $J$ もしくは $W$ が消えない場合に、$M$ 上に絶対平行化をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 同値問題が $\{e\}$-構造に還元された場合、これらの超曲面の構造はどのようなものか？
• RQ5 コフレームの構造方程式は $M$ の幾何にどのように依存するか？ そして、なぜねじれ係数がすべて定数のまま $F$ に依存しないのか？

主な発見

• $J$ と $W$ はすべてグラフ化関数 $F$ の関数として明示的に計算され、$M$ が光円錐のチューブに局所的にビホルモーフィック同値であるための必要十分条件として、両者の同時消滅である。
• $J$ もしくは $W$ が非ゼロのとき、同値問題は $\{e\}$-構造に還元され、これにより $M$ 上に絶対平行化が存在することが保証される。
• コフレームの構造方程式は、$F$ に依存しない定数ねじれ係数を持つ。これは、すべてのこのような超曲面に対して普遍的な幾何的モデルが存在することを示している。
• $\mathscr{L}_1$, $\mathscr{K}$, $\mathscr{T}$ はすべて $F$ 及びその微分の関数として明示的に表され、$\mathscr{K}$ はレヴィ形式の核を張る。
• 構造方程式を閉じるために1形式 $\Lambda$ を導入し、その外微分を計算することで $d\Lambda = i\pi^2 \wedge \overline{\pi}^2 + \Lambda \wedge \pi^1 + \Lambda \wedge \overline{\pi}^1$ を得、系を完全に完成させる。
• モデル超曲面 $u = \frac{z_1\overline{z}_1 + \frac{1}{2}z_1^2\overline{z}_2 + \frac{1}{2}\overline{z}_1^2 z_2}{1 - z_2\overline{z}_2}$ は $J = W = 0$ を満たし、特徴づけの正当性が確認される。