[論文レビュー] Explicit and Efficient Constructions of Coding Schemes for the Binary Deletion Channel and the Poisson Repeat Channel

Roni Con, Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2019

Advanced biosensing and bioanalysis techniques参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二進削除チャネル（BDC）およびポアソン繰り返しチャネル（PRC）のための最初の明示的構成法を提示する。BDCでは$(1-p)/16$のレートを達成し、PRCではパラメータ$u$に対して$\frac{u}{17}$のレートを達成する。符号化と復号は多項式時間で行える。この構成法は、同期エラーに強い内部符号を用いたコンカテネート符号方式に基づいており、ランダムな削除または繰り返し条件下でも高確率で復号が可能である。

ABSTRACT

This work gives an explicit construction of a family of error correcting codes for the binary deletion channel and for the Poisson repeat channel. In the binary deletion channel with parameter $p$ (BDC$_p$) every bit is deleted independently with probability $p$. A lower bound of $(1-p)/9$ is known on the capacity of the BDC$_p$ \cite{mitzenmacher2006simple}, yet no explicit construction is known to achieve this rate. We give an explicit family of codes of rate $(1-p)/16$, for every $p$. This improves upon the work of Guruswami and Li \cite{guruswami2017efficiently} that gave a construction of rate $(1-p)/120$. The codes in our family have polynomial time encoding and decoding algorithms. Another channel considered in this work is the Poisson repeat channel with parameter $λ$ (PRC$_λ$) in which every bit is replaced with a discrete Poisson number of copies of that bit, where the number of copies has mean $λ$. We show that our construction works for this channel as well. As far as we know, this is the first explicit construction of an error correcting code for PRC$_λ$.

研究の動機と目的

• 二進削除チャネル（BDC）について、既知の容量下界と明示的符号構成との間のギャップを埋めること。
• 二進削除チャネルに類似したが、これまで明示的符号設計が存在しなかったポアソン繰り返しチャネル（PRC）のための最初の明示的符号構成を提供すること。
• GuruswamiとLiの$(1-p)/120$のレートを上回る、より高いレートを達成するBDCの明示的符号構成を実現すること。
• ランダムな削除またはポアソン分布に従う繰り返し条件下でも高い信頼性を維持できる、多項式時間の符号化および復号アルゴリズムを備えた符号を設計すること。

提案手法

• 同期エラーに強い内部符号を備えた外符号と組み合わせたコンカテネート符号方式を採用する。
• 内部符号は、ビットがポアソン分布に従って削除または繰り返される場合でも信頼性の高い復号が可能な構造に基づいて構築される。
• 復号アルゴリズムはバッファベースの回復を用いて、削除や繰り返しによって生じるエラーを検出・是正する。エラー事象の確率的解析が行われる。
• 確率的解析により、復号失敗の確率がポアソン尾部不等式および集中不等式を用いて評価され、指数関数的に小さい誤り率が保証される。
• ビットの繰り返しをポアソン分布に従うコピーとしてモデル化し、復号の閾値を適切に調整することで、PRCに適応した構成がなされる。
• 内部符号のレートと生存するシンボルの期待数を用いたレート解析により、最終的な符号レートが$\mathcal{R} > \frac{\lambda}{17}$となることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進削除チャネル（BDC）に対して、既知の容量下界$(1-p)/9$に近づく明示的で高レートのエラー訂正符号を構成可能か？
• RQ2 ランダムなビット繰り返しをモデル化するポアソン繰り返しチャネル（PRC）のための最初の明示的エラー訂正符号を設計可能か？
• RQ3 多項式時間の符号化・復号制約下で、BDCおよびPRCにおける明示的符号の最大達成可能レートは何か？
• RQ4 確率的設定下で高確率復号を達成できるように、削除および挿入（または繰り返し）の両方に耐性を持つ符号をどのように設計できるか？

主な発見

• 本稿では、BDCに対してレート$(1-p)/16$の明示的符号を構成し、GuruswamiとLiの$(1-p)/120$の従来の明示的構成を上回る。
• パラメータ$\lambda$のポアソン繰り返しチャネルに対して、$\lambda/17$を超過するレートを達成し、これはこのチャネルに対する最初の明示的符号である。
• 復号アルゴリズムは多項式時間で実行され、外符号のブロック長を$m$として、確率$1 - \exp(-\Omega(m))$で成功する。
• 内部符号が削除および誤った挿入の両方に対して耐性を持つことが示され、ポアソン尾部不等式を用いて誤り確率が上限付けられている。
• 編集距離アドバーサリーに対して耐性があり、解析を単純化するとともに、復号保証を強化している。
• レート解析により、ブロック長が増加するに従い、全体の符号レートが$\lambda/17$に近づくことが確認され、高い信頼性を保証する明示的なパrameter選択がなされている。