[論文レビュー] Explicit Computational Paths

Arthur Ramos, Ruy J. G. B. de Queiroz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Formal Methods in Verification被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、計算的経路（等価性の帰納的証明としての形式的書き換え列）を用いた代数的アプローチを提示し、ホモトピー型理論を定式化する。$LND_{EQ}-TRS$ 項書き換え系を拡張し、計算的経路を直接的に経路空間としてモデル化することで、円の基本群を構成し、それが $\mathbb{Z}$ に同型であることを証明する。これは標準的なコード化・復号化手法の代わりに、文法的アプローチを提供する。

ABSTRACT

The treatment of equality as a type in type theory gives rise to an interesting type-theoretic structure known as `identity type'. The idea is that, given terms $a,b$ of a type $A$, one may form the type $Id_{A}(a,b)$, whose elements are proofs that $a$ and $b$ are equal elements of type $A$. A term of this type, $p : Id_{A}(a,b)$, makes up for the grounds (or proof) that establishes that $a$ is indeed equal to $b$. Based on that, a proof of equality can be seen as a sequence of substitutions and rewrites, also known as a `computational path'. One interesting fact is that it is possible to rewrite computational paths using a set of reduction rules arising from an analysis of redundancies in paths. These rules were mapped by De Oliveira in 1994 in a term rewrite system known as $LND_{EQ}-TRS$. Here we use computational paths and this term rewrite system to develop the main foundations of homotopy type theory, i.e., we develop the lemmas and theorems connected to the main types of this theory, types such as products, coproducts, identity type, transport and many others. We also show that it is possible to directly construct path spaces through computational paths. To show this, we construct the natural numbers and the fundamental group of the circle, showing results connected to these structures.

研究の動機と目的

• 計算的経路を等価性の形式的証明として用いることで、ホモトピー型理論の文法的・計算的基盤を確立すること。
• ホモトピー的経路の意味論的制限を克服し、等価性推論のための形式的で書き換えに基づく体系を導入すること。
• 計算的経路が、コード化・復号化のような複雑な技法に依存せずに、直接的に経路空間をシミュレートできることを示すこと。
• $LND_{EQ}-TRS$ 項書き換え系に、経路代数と型理論的構成をサポートする新しい還元規則を追加すること。
• 円の基本群が $\mathbb{Z}$ に同型であるといったホモトピー型理論の主要な結果を、計算的経路のみを用いて再構成すること。

提案手法

• 型理論の公理と規則から導かれる書き換え列としての計算的経路を定義し、等価性の形式的文法を構築すること。
• $LND_{EQ}-TRS$ 項書き換え系を用いて計算的経路を還元・正規化し、47個の還元規則の集合により冗長性を排除すること。
• 経路の合成、輸送、恒等型の代数的モデル化を目的とした新しい還元規則（例：$\tau(\mu(r),\mu(s))=_{tf}\mu(\tau(r,s))$）を導入すること。
• 意味的解釈や外部の符号化スキームに依存せずに、計算的経路による直接的な経路空間の構成を実現すること。
• 経路の合成、逆経路（$\sigma$）、恒等経路（$\rho$）を、経路代数内の文法的演算として定義すること。
• 再帰的な経路構築と逆関数を用いて、パス $loop^n$ を整数 $n$ に写像することで、円の基本群と $\mathbb{Z}$ の間の同型を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算的経路は、意味論的または符号化に基づくアプローチに代わる、完全に文法的なホモトピー型理論の基盤として機能できるか？
• RQ2 $LND_{EQ}-TRS$ 書き換え系は、型理論における計算的経路の完全な代数をサポートするようにどのように拡張できるか？
• RQ3 コード化・復号化手法に依存せずに、計算的経路から直接円の基本群を構成できるか？
• RQ4 恒等型と経路の合成を伴う状況下で、経路の正規化と整合性を保証するために必要な還元規則は何か？
• RQ5 自然数の経路空間および円の基本群が、計算的経路を用いて標準的な代数的構造と同型であるか？

主な発見

• 円の基本群 $\Pi_1(S^1, a)$ は $\mathbb{Z}$ に同型であり、$n \in \mathbb{Z}$ に対してパス $loop^n$ として表現され、$n$ は巻き数に対応する。
• 再帰的にパス構造に基づいて定義された二つの逆関数 $toInteger$ および $toPath$ を用いて、$\Pi_1(S^1, a)$ と $\mathbb{Z}$ の間の直接的な同型が構成される。
• 経路輸送と恒等型の代数的モデル化を目的とした7つの新しい還元規則（例：$\mu_{f}(\rho_x) =_{mxp} \rho_{f(x)}$）を $LND_{EQ}-TRS$ に拡張する。
• 経路代数は、積、余積、恒等型、輸送といったホモトピー型理論のすべての核心的構成を、書き換えに基づく正規化によってサポートする。
• コード化・復号化手法の必要性を回避し、計算的経路による直接的な経路空間モデル化により、意味的構成の代わりに文法的代替案を提供する。
• 経路代数は、恒等証明の一意性を否定し、計算的経路に基づく群oidsモデルを用いて、Hofmann & Streicher (1995) の重要な結果を裏付ける。