[論文レビュー] Explicit Construction of Maass Wave Forms and Their Petersson Inner Products

Daichi Tanaka|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2026

Analytic Number Theory Research被引用数 0

ひとこと要約

論文は実数二次体上のヘーゼ幾何文字に対応するMaass波 cusp formsを明示的に構成し、それらのPetersson内積の明示的な公式を導出する。の例としてジデラ的Artin表現を含む。

ABSTRACT

In this paper, we explicitly construct Maass wave cusp forms associated to Hecke characters on arbitrary real quadratic fields. This result is a generalization of Maass (1949), who constructed Maass wave cusp forms under the assumption that narrow class number is one. We also compute its Petersson inner product explicitly and give a few examples involving dihedral Artin representations.

研究の動機と目的

• 実数二次体上で非ホロノミック自動対称形式（Maass波形）を明示的に構成する動機付けと展開。
• 狭い類数1に限定せず、Maassの構成を一般の実数二次体へ一般化。
• Maass形をHecke L-functionへ結びつけ、Petersson内積を明示的に計算。
• Peterssonノルムを算術的不変量とL値で表現し、レギュレーターやジデラ表現との関係を明らかにする。

提案手法

• Γ0(N)の自動性、ラプラシアン固有関数、適度な成長性の観点からMaass wave cusp formsを定義する。
• 実数二次体上の原始Hecke charactersからΘψを構築し、そのレベルと特性を同定する。
• Θψが cusp 空間 S(Γ0(DNf), ν, χDψfin) に属し、ΘψがHecke固有形でL(s,ψ) をそのL-functionとすることを証明する。
• Rankin–Selberg法とSatakeパラメータを用いて明示的なPetersson内積公式を導出する。
• ⟨Θψ,Θψ⟩ = C1 C2 C3 · Res_{s=1}(ζF(s)) L(1, ψ(ψ̄∘σ)) という内積の明示的定数C1,C2,C3を導出し、特別な場合と例を示す。
• ジデラ系および実数二次体のケースにおいてPetersson内積をレギュレーターで表す系の系(コルロリ)を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数二次体上のHecke charactersからMaass波 cusp formsを明示的に構成できるか。
• RQ2 これらのMaass波 cusp formsの明示的なPetersson内積公式は何か、L値と算術的不変量との関係はどうなるか。
• RQ3 狭い類数が1でない場合にこの構成はMaassの元々の結果をどう拡張し、ν = 0（ジデラケース）ではどうなるか。

主な発見

• 原始的なHecke charactersから構成されたΘψはS(Γ0(DNf), ν, χDψ)のMaass波 cusp formsを生成する。
• ΘψはHecke固有形であり、Hecke L-function L(s, ψ)を持つ。
• 明示的なPetersson内積公式 ⟨Θψ,Θψ⟩ = C1 C2 C3 · Res_{s=1}(ζF(s)) L(1, ψ(ψ̄∘σ)) を得る。
• 定数C1, C2, C3は判別式D、F/ℚのノルム因子 N_{F/ℚ}(f)、νを伴うガンマ因子、分裂素数での局所Euler因子により与えられ、明示的である。
• コルロリはジデラ系/実数二次体設定におけるPetersson内積をレギュレーターで表す。例として F = Q(√229), Q(√445), Q(√401) を含む。
• 例はPeterssonノルムを特定の場Kおよびジデラ系の双四元場のレギュレーターに結びつける。