[論文レビュー] Explicit Constructions of Ramanujan Complexes of Type $ ilde{A}_d$

Alexander Lubotzky, Beth Samuels+1 more|ArXiv.org|Jun 10, 2004

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正の特性を持つ局所体上の型$\tilde{A}_d$のラマヌジャン複体の明示的構成を、$F = \mathbb{F}_q((y))$におけるCartwright-Steger格子$\Gamma$の合同剰余類を用いて提示する。主な結果は、$\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$の明示的生成集合を特定し、それらによって得られるケイリー複体がブルハット＝ティッツのビルディングに被覆されるラマヌジャン複体であることを示すことである。

ABSTRACT

In this paper we present for every $d \geq 2$ and every local field $F$ of positive characteristic, explicit constructions of Ramanujan complexes which are quotients of the Bruhat-Tits building $\B_d(F)$ associated with $\operatorname{PGL}_d(F)$.

研究の動機と目的

• 正の特性を持つ局所体上での型$\tilde{A}_d$（$d \geq 2$）のラマヌジャン複体の明示的・構成的実現を提供すること。
• ラマヌジャン複体の存在結果を、Cartwright-Steger格子$\Gamma$の有限剰余類を用いた明示的構成に拡張すること。
• 有限剰余類の$1$次元スケルトンを、明示的生成集合を有する有限群のケイリー図形として実現すること。
• 関数体におけるグローバル・ジャケット＝ラングランス対応を用いて、スペクトル的性質を検証することで、これらの複体がラマヌジャンであることを確立すること。
• 有限局所環および有限体上でのこのような複体の構成のアルゴリズム的フレームワークを提供し、詳細な例を含むこと。

提案手法

• ブルハット＝ティッツのビルディング$\mathcal{B}_d(F)$の頂点上で単純推移的に作用する$\mathrm{PGL}_d(F)$の離散部分群であるCartwright-Steger格子$\Gamma$を基礎群として用いる。
• $p \in \mathbb{F}_q[y]$を$\mathbb{F}_q[y]$における素数とし、$s \geq 1$に対し、$I = \langle p^s \rangle$とおく。このとき、合同部分群$\Gamma(I)$を用いて$\Gamma$の有限剰余類$\Gamma(I) \backslash \mathcal{B}_d(F)$を構成する。
• $L = R/I$を有限局所環として、$\mathbb{F}_q[x]$上の明示的$d \times d$行列表現を用いて$\Gamma$を$\mathrm{PGL}_d(L)$に埋め込む。これにより、アルゴリズム的構成が可能になる。
• ケイリー複体を、$1$次元スケルトンがケイリー図形$\mathrm{Cay}(G; S)$である単体的複体として定義する。ここで$G = \mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$であり、$S$は$\mathbb{F}_q^d$の次元$1$から$d-1$までの部分空間に対応する生成集合であり、$|S| = \sum_{k=1}^{d-1} \genfrac{[}{]}{0pt}{2}{d}{k}_q$である。
• 関数体におけるグローバル・ジャケット＝ラングランス対応を用い、$\mathrm{PGL}_d(F)$作用のスペクトル理論に依拠することで、得られた複体がラマヌジャンであることを証明する。この結果は[LSV]で確立されている。
• 第10節で、$d \times d$行列としての明示的生成集合の計算アルゴリズムと具体例を提供し、具体的な生成集合は図9に示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性を持つ局所体上での型$\tilde{A}_d$（$d \geq 2$）のラマヌジャン複体を明示的に構成できるか？
• RQ2 Cartwright-Steger格子$\Gamma$は、合同部分群を用いてどのように有限剰余類を生成し、それらがラマヌジャン複体を導くか？
• RQ3 $\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$の明示的生成集合$S$は、関連するケイリー複体がラマヌジャンであり、ブルハット＝ティッツのビルディングに被覆されるようにどのように特定できるか？
• RQ4 構成を精緻化することで、有限局所環$L$に対して、$\mathrm{PGL}_d(L)$の部分群であり、$\mathrm{PSL}_d(L)$を含む有限剰余類が得られるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_q[x]$上での$\Gamma$の明示的$d \times d$行列生成集合を計算するアルゴリズム的手順は何か？

主な発見

• 任意の$d \geq 2$、$q$を素数べき、$e \geq 1$（$q = 2$の場合は$e > 1$）に対して、群$G = \mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$は、$\sum_{k=1}^{d-1} \genfrac{[}{]}{0pt}{2}{d}{k}_q$個の生成集合$S$を明示的に持つ。この$S$に関して、$G$のケイリー複体はラマヌジャン複体である。
• ケイリー複体は、$F = \mathbb{F}_q((y))$に対してブルハット＝ティッツのビルディング$\mathcal{B}_d(F)$に被覆され、その$1$次元スケルトンは生成集合によるケイリー図形$\mathrm{Cay}(G; S)$である。辺は生成集合によって定義される。
• 生成集合は$\mathbb{F}_q[x]$上の$d \times d$行列として明示的に与えられ、構成はアルゴリズム的に実現可能であり、第10節に完全な例が提示されている。
• 有限剰余類$\Gamma(I) \backslash \mathcal{B}_d(F)$は、$L$を有限局所環として、$\mathrm{PGL}_d(L)$の部分群（$\mathrm{PSL}_d(L)$を含む）のケイリー複体と同型である。
• 複体のラマヌジャン性質は、$\mathrm{PGL}_d(F)$作用のスペクトル理論に依拠し、関数体におけるグローバル・ジャケット＝ラングランス対応が関数体設定で成立すると仮定することで確立される。
• この構成は、$d$を割る任意の$r$に対して、$\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$の部分群（$\mathrm{PSL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$を含む）を考察することにより、$r$-部複体に一般化できる。これは、$d=2$の場合のラマヌジャン図形に既知の$r$-部構造を拡張するものである。