[論文レビュー] Explicit expressions for Euclidean and Minkowskian QCD observables in analytic perturbation theory

Dmitri S. Kourashev, B. A. Magradze|ArXiv.org|Apr 15, 2001

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、QCDにおける解析的摂動理論（APT）関数である空間的 ${\cal A}_n(Q^2,f)$ および時空的 ${\mathfrak{A}}_n(s,f)$ 関数について、ラメルト・ウ関数を用いたレノルマル化群方程式の正確な解を用いて、三ループ階層まで明示的な解析的表現を導出する。主な貢献は、高精度でスキームに依存しないAPT観測量を計算する閉形式の方法であり、数値的検証がなされ、二ループの場合に5%未満の誤差に抑えるなど、反復近似法を上回ることを示している。

ABSTRACT

Technical aspects of the Shirkov-Solovtsov's analytic perturbation theory (APT) are considered. We construct explicitly two sets of specific functions, ${\mathfrak{A}_n(s)}$ and ${{\cal A}_n(Q^2)}$ that determine the nonpower as ymptotic expansions for Minkowskian and Euclidean QCD observables in APT. The results, up to third order, are written in terms of the Lambert W-functions. As an input we used the exact two loop and the three loop (corresponding to Padé transformed be ta-function) RG solutions for common invariant coupling $α_s$. In addition, the exact three-loop coupling is expanded in powers of the exact two-loop solution. The excellent accuracy is achieved with few terms of this series. We derive order by order elegant systems of equations for both sets of the functions. Then we construct the global versions of the APT functions with quark thresholds in the $\bar{MS}$ scheme and give numerical results.

研究の動機と目的

• QCDにおける解析的摂動理論（APT）関数の正確で反復的でない公式を導出し、物理的でない特異点を排除し、赤外領域における振る舞いを改善すること。
• レノルマル化群（RG）方程式の正確な二ループおよび三ループ解を用いて、空間的 ${\cal A}_n(Q^2,f)$ および時空的 ${\mathfrak{A}}_n(s,f)$ 関数を三ループ階層まで閉形式で構築すること。
• $\overline{MS}$ スキームにおけるクォークフレーバーの閾値を伴うAPT関数を計算する体系的な方法を提供し、閾値を越えて連続性を保証すること。
• 新しい解析的アプローチが、特に赤外領域において、既存の反復法よりも高い精度を達成することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、複素平面への正確な解析接続を可能にする、QCDレノルマル化群方程式の正確な二ループおよび三ループ解（ラメルト・ウ関数を用いて表現）を用いる。
• ${\cal A}_n(Q^2,f)$ および ${\mathfrak{A}}_n(s,f)$ のための再帰的方程式系を導出し、一ループを超える高次のAPT関数を段階的に計算可能にする。
• 空間的関数 ${\cal A}_n(Q^2,f)$ はスペクトル表現または逆変換（式5）を用いて再構成され、分散関係を通じて時空的関数と関連づけられる。
• 三ループ計算では、結合定数の安定化と解析性の確保のため、パーデー補正を施したベータ関数が用いられ、物理的でない極を回避する。
• 全般的なAPT関数は、クォークフレーバー閾値における $\overline{MS}$ スキーム結合定数を連続的マッチング条件で接続することで構築される。
• 数値的検証として、二および三ループまでのAPT関数の表を用い、反復近似法との精度を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラメルト・ウ関数による結合定数の表現を用いて、二ループおよび三ループ階層におけるAPT関数の正確な閉形式表現を導出可能か？
• RQ2 新しい解析的APTアプローチの精度は、反復法と比較して、特に赤外領域でどのように異なるか？
• RQ3 パーデー補正を施した三ループベータ関数を用いることで、APT関数の解析的構造および数値的安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 $\overline{MS}$ スキーム内でのクォークフレーバー閾値を、全般的なAPT関数に一貫して組み込む方法は何か？

主な発見

• 二ループのAPT関数 ${\mathfrak{A}}_1^{(2)}(s,f)$ および ${\mathfrak{A}}_2^{(2)}(s,f)$ は、ラメルト・ウ関数を用いて閉形式で導出され、高次の関数は再帰関係（式57）により生成される。
• 三ループのAPT関数 ${\mathfrak{A}}_n(s,f)$ は、パーデー補正を施したベータ関数を用いて構築され、安定的かつ高精度な結果が得られ、スキーム依存性が最小限に抑えられる。
• 反復近似法と比較して、結合定数の進行における誤差が低減され、二ループの場合に推定誤差が4–5%未満に抑えられ、優れた数値的安定性を示している。
• 全般的なAPT関数 ${\cal A}_n(Q^2)$ および ${\mathfrak{A}}_n(s)$ は、クォーク閾値を越えて連続的マッチングにより構築され、$\overline{MS}$ スキーム内での物理的整合性が保証される。
• 数値的結果（表1–6）は、新しい解析的アプローチが、従来の反復法よりもAPT関数の近似をより高精度に実現していることを確認している。
• 本稿は、一ループを超えるAPT関数を計算する一般枠組みを確立し、ミンコフスキー的およびユークリッド的QCD観測量の高精度計算を可能にする。