[論文レビュー] Explicit expressions for the moments of the size of an (n, dn-1)-core partition with distinct parts

Anthony Zaleski|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、posetに基づく特徴付けとコンピュータ支援の記号計算を用いて、部分がすべて異なる$(n, dn-1)$-コア分割のサイズのモーメント（平均、分散、高階モーメント）の明示的多項式および有理関数の公式を導出する。主な貢献は、固定された$d$に対して$n \to \infty$のときサイズ分布が漸近的に正規分布に従うと仮説を立てることであり、$n$と$d$の関数としてのモーメントの閉形式表現が、Mapleを用いた自動的列挙と再帰的フィッティングによって検証されている。

ABSTRACT

In a previous paper (arXiv:1608.02262), we used computer-assisted methods to find explicit expressions for the moments of the size of a uniform random (n,n+1)-core partition with distinct parts. In particular, we conjectured that the distribution is asymptotically normal. However, our analysis hinged on a characterization of (n,n+1)-core partitions given by Straub, which is not readily generalized to other families of simultaneous core partitions. In another paper (arXiv:1611.05775) with Doron Zeilberger, we made use of the characterization in terms of posets to analyze (2n+1,2n+3)-core partitions with distinct parts; here, the distribution was found not to be asymptotically normal. Our method involved finding recursive structure in the relevant sequence of posets. We remarked that this method is applicable to other families of core partitions, provided that one can understand the corresponding posets. Here, we use the poset method (and, as before, a computer) to analyze (n,dn-1)-core partitions with distinct parts, where d is a natural number. (This problem was introduced by Straub in arXiv:1601.07161.) We exhibit formulas for the moments of the size, as functions of d with n fixed, and vice versa. We conjecture that the distribution is asymptotically normal as n approaches infinity. Finally, we find formulas for the first few moments, as functions of both n and d.

研究の動機と目的

• 固定された自然数$d$に対して、部分がすべて異なる$(n, dn-1)$-コア分割のサイズのモーメントの明示的閉形式式を導出すること。
• $(n,n+1)$-および$(2n+1,2n+3)$-コア分割の既存結果を、より広い族$(n,dn-1)$-コア分割へと拡張すること。
• このような分割のサイズの漸近的分布を調査すること、特に$n \to \infty$のとき正規分布に収束するかどうかを検討すること。
• posetと再帰的フィッティングアルゴリズムを用いた記号計算フレームワークを構築し、モーメント公式の生成と検証に応用すること。

提案手法

• 部分がすべて異なる$(s,t)$-コア分割は、poset $P_{s,t} = \mathbb{N} \setminus (s\mathbb{N} + t\mathbb{N})$ の順序理想で、連続するラベルを含まないものに一対一に対応することを用いる。
• $(n, dn-1)$-コア分割のposetの再帰的構造を活用して、母関数とモーメント列を導出する。
• コンピュータ代数システム（Maple）を用いて、モーメント列を多項式および有理関数のアンサンブルにフィットさせ、再帰的パターンを同定するためのGuessRecPolアルゴリズムを適用する。
• $n$または$d$を固定して、もう一方の変数の関数としてモーメント公式を導出し、その後$bivariate$な公式に一般化する。
• モーメント式$A(n,d)N_d(n) + B(n,d)N_d(n+1)$における係数を解くために記号的線形代数を用いる。ここで$N_d(n)$は一般化されたフィボナッチ再帰を満たす。
• 標準化されたモーメントの極限を計算し、正規分布の既知の列と比較することで、仮説を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された$d$に対して、$n$と$d$の関数として、部分がすべて異なる$(n, dn-1)$-コア分割のサイズのモーメントの明示的公式はどのように導出可能か？
• RQ2 固定された$d$に対して、$n \to \infty$のとき、部分がすべて異なる$(n, dn-1)$-コア分割のサイズの分布は正規分布に収束するか？
• RQ3 $(n, dn-1)$-コア分割のposet構造を活用して、再帰的母関数とモーメント公式を導出可能か？
• RQ4 $n$と$d$が両方変化するとき、モーメントはどのように振る舞い、統一的な$bivariate$な公式を構築可能か？
• RQ5 なぜ$d=2$（ここで$N_2(n) = 2^{n-1}$）の場合はモーメント公式で異常な振る舞いを示し、極限計算によってこの場合に一般化可能か？

主な発見

• $X_{d,3}$の期待値は$\frac{d^2}{3} + \frac{d}{4} - \frac{1}{12}$、分散は$\frac{4d^4}{45} + \frac{d^3}{12} - \frac{d^2}{144} + \frac{d}{24} + \frac{31}{720}$であり、$n=3$固定のとき多項式的挙動が確認された。
• $d=3$の場合、$X_{3,n}$の期待値は$n$と$N_3(n)$に関する有理関数で与えられ、明示的公式は$\frac{25}{39}n^2 - \frac{479}{507}n + \frac{406}{507} + \frac{N_3(n+1)}{N_3(n)} \left( -\frac{1}{39}n^2 + \frac{29}{169}n - \frac{158}{507} \right)$である。
• 一般の$X_{d,n}$の期待値は、$n$と$d$に関する有理関数として、$N_d(n)$と$N_d(n+1)$を含む形で表現され、$d=2$で特異性を示すが、極限計算により除去可能である。
• 第$k$モーメント$m_k(d,n)$は、$A(n,d)N_d(n) + B(n,d)N_d(n+1)$の形を仮説とする。ここで$A$と$B$は、$n$に関して$2k$次多項式であり、$d$に関して有理関数係数を持つ。
• $d=2$で計算された標準化モーメントは、$0,1,0,3,0,15,\dots$の列と一致し、正規分布と整合的である。これにより、漸近的正規性の仮説が支持される。
• $d=1$の$(2n+1,2n+3)$-コアの場合、分布は漸近的に正規でないが、現在の結果から$d \geq 3$では正規であることが示唆され、$d=2$は特別なケースである。