[論文レビュー] Explicit formulas for derivatives of tangent and cotangent and for Bernoulli and other numbers

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Advanced Mathematical Identities被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Faa di Brunoの公式と複素関数論的手法を用いて、正接および余割関数の高階微分の明示的公式を導出する。ベルヌーイ数、ゲノチ数、オイラー多項式のゼロにおける値、およびリーマンゼータ関数の偶数整数における値について、新しい明示的表現および漸化式関係を確立する。また、正弦関数および三角関数・双曲線関数の微分多項式に関する恒等式も提示する。

ABSTRACT

In the paper, by induction, the Faa di Bruno formula, and some techniques in the theory of complex functions, the author finds explicit formulas for higher order derivatives of the tangent and cotangent functions as well as powers of the sine and cosine functions, obtains explicit formulas for two Bell polynomials of the second kind for successive derivatives of sine and cosine functions, presents curious identities for the sine function, discovers explicit formulas and recurrence relations for the tangent numbers, the Bernoulli numbers, the Genocchi numbers, special values of the Euler polynomials at zero, and special values of the Riemann zeta function at even numbers, and comments on five different forms of higher order derivatives for the tangent function and on derivative polynomials of the tangent, cotangent, secant, cosecant, hyperbolic tangent, and hyperbolic cotangent functions.

研究の動機と目的

• 正接および余割関数の高階微分の明示的公式を導出すること。
• ベルヌーイ数、ゲノチ数、およびオイラー多項式のゼロにおける特別な値の閉形式表現を取得すること。
• リーマンゼータ関数の偶数整数における特別な値についての明示的公式および漸化式関係を確立すること。
• 正弦関数および三角関数・双曲線関数の微分多項式に関する恒等式を探索し、提示すること。
• 正接関数の高階微分の5通りの異なる表現を比較し、それらの多項式的構造を分析すること。

提案手法

• Faa di Brunoの公式を用いて、正接および余割関数を含む合成関数の高階微分を計算すること。
• 複素関数論の技法を用いて、微分および特別な関数の構造的性質を導出すること。
• 微分のパターンからベルヌーイ数およびゲノチ数の明示的公式を帰納的導出すること。
• 正弦および余弦関数の連続的微分に対応する2つの特定の第二種ベル多項式を同定すること。
• 正接数およびゼロにおけるオイラー多項式の特別な値のための漸化式関係を導出すること。
• 正接、余割、正割、余割関数、およびそれらの双曲線版の微分多項式の分析を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正接および余割関数のn階微分について、どのような明示的公式が導出可能か？
• RQ2 微分構造を用いて、ベルヌーイ数およびゲノチ数を明示的公式または漸化式関係でどのように表現できるか？
• RQ3 導出された微分パターンから、正弦関数に関してどのような恒等式が生じるか？
• RQ4 リーマンゼータ関数の偶数整数における特別な値は何か？ そして、三角関数の微分からどのように導出可能か？
• RQ5 正接関数の高階微分の5通りの異なる表現はどのように関係し合い、それらの背後にある多項式的構造は何か？

主な発見

• Faa di Brunoの公式と複素関数論を用いて、正接および余割関数のn階微分の明示的公式が導出された。
• 正接数、ベルヌーイ数、ゲノチ数について、新しい漸化式関係および閉形式表現が確立された。
• ゼロにおけるオイラー多項式の特別な値が、導出された微分恒等式を用いて明示的に表現された。
• リーマンゼータ関数の偶数整数における明示的公式が得られ、三角関数の微分と関連づけられた。
• 正弦および余弦関数の連続的微分に対応する2つの特定の第二種ベル多項式が同定された。
• 正接関数の高階微分の5通りの異なる表現が分析され、それらの背後にある多項式的構造および関係性が明らかにされた。