[論文レビュー] Explicit formulas for enumeration of lattice paths: basketball and the kernel method

Cyril Banderier, Christian Krattenthaler+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 54被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限なステップ集合を持つ有向ラティスパスの数え上げのための明示的閉形式式を導出する。主な焦点はバスケットボールウォーク（ステップ ±1, ±2）であり、核法（kernel method）とラグランジュ＝バーマン逆行列を用いて一般のステップ集合へと拡張する。主な貢献は、非負に保たれるように制約されたパスの数を表すネストされた二項係数和の式を導出することであり、組合せ論およびキューイング理論への応用を含め、正確な数え上げと漸近的解析を可能にする。

ABSTRACT

This article deals with the enumeration of directed lattice walks on the integers with any finite set of steps, starting at a given altitude $j$ and ending at a given altitude $k$, with additional constraints such as, for example, to never attain altitude $0$ in-between. We first discuss the case of walks on the integers with steps $-h, \\dots, -1, +1, \\dots, +h$. The case $h=1$ is equivalent to the classical Dyck paths, for which many ways of getting explicit formulas involving Catalan-like numbers are known. The case $h=2$ corresponds to "basketball" walks, which we treat in full detail. Then we move on to the more general case of walks with any finite set of steps, also allowing some weights/probabilities associated with each step. We show how a method of wide applicability, the so-called "kernel method", leads to explicit formulas for the number of walks of length $n$, for any $h$, in terms of nested sums of binomials. We finally relate some special cases to other combinatorial problems, or to problems arising in queuing theory.

研究の動機と目的

• 指定された開始点および終了点におけるラティスウォークの数の明示的閉形式式を導出すること。
• ラティスパス組合せ論における長年の未解決問題である、ステップ集合 {−2, −1, +1, +2}（バスケットボールウォーク）に対する閉形式式の特定。
• 核法およびラグランジュ＝バーマン逆行列を、ゼロステップを含む任意の有限ステップ集合へと一般化すること。
• ラティスパス数え上げと、括弧表現、木構造、キューイングモデルなどの他の組合せ的構造との関連を確立すること。
• 制約付きラティスウォークの正確な数え上げおよび漸近的解析のための体系的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 核法を用いて、ステップ集合に関連する核方程式を解くことにより、ラティスウォークの母関数を導出する。
• ラグランジュ＝バーマン逆行列を用いて、核方程式によって暗黙的に定義された母関数の係数を抽出する。
• ネストされた二項係数の和として、パス数の明示的公式を導出する。これにより、計算および解析が効率的に行える。
• 特異点解析を用いて、核方程式の構造から母関数の漸近的挙動を導出する。
• 核法および逆行列の応用を、ステップが {−h, ..., h} または {−h, ..., h} \ {0} であるウォークへと拡張し、ゼロステップおよび非ゼロステップを含む。
• 関数方程式および母関数の恒等式を介して、他の組合せ的対象（例：括弧表現、木構造）との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップが ±1, ±2 であるバスケットボールウォークで、高さ 0 から k へ、常に非負に保たれるパスの数に対する明示的閉形式式は何か？
• RQ2 核法およびラグランジュ＝バーマン逆行列をどのように組み合わせて、任意の有限ステップ集合に対するパス数のネストされた二項係数和の式を導出できるか？
• RQ3 ステップが {−h, ..., h} または {−h, ..., h} \ {0} であるウォークの母関数は、核方程式の根を用いて表現できるか？
• RQ4 バスケットボールウォークと、値が 0 または 1 になるゼロの括弧表現との間の組合せ的解釈は何か？
• RQ5 高さ 1 で終わるウォークの数と、n+2 個のゼロの括弧表現で値が 0 になるものの数との間には、双対的証明（双対写像）が存在するか？

主な発見

• ラグランジュ＝バーマン逆行列を用いて、0 から 1、2、およびエクcursion（0 に戻る）へのバスケットボールウォークの数の明示的閉形式式を導出する。
• 0 から 1 への長さ n のウォークの数は、値が 0 になる n+2 個のゼロの括弧表現の数に等しく、組合せ的双対写像が確立される。
• 0 から 2 へのウォークの母関数は、G_{0,2}(z) = z^{-1}W(z) と表され、ここで W(z) は値が 1 になる括弧表現の母関数である。
• 一般の h に対して、ステップが {−h, ..., h} または {−h, ..., h} \ {0} であるウォークの数は、核法および逆行列を用いてネストされた二項係数の和として表現される。
• 核法から得られる母関数の特異点解析により、パス数の漸近的解析が可能になる。
• 本フレームワークは、マーク付きステップ、禁止パターン、または非有界ステップを含むモデルへと拡張可能であり、母関数は依然として核方程式の根を用いて表現可能である。