[論文レビュー] Explicit GL(2) trace formulas and uniform, mixed Weyl laws

Marc Palm|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、Bushnell-Kutzkoのタイプ理論を用いてアーバートのトレース公式を精緻化することで、グローバル体上のGL(2)-自己形式表現に対する明示的で一般化されたトレース公式を提示する。局所的平方可積分表現の明示的擬似行列係数を構成し、すべての代数的数体に対して一様で混合型のウェイル法則を確立する。これは、指定された実場における所定の離散系列を有する尖点形式を、合同部分群に依存しない誤差項を伴って数えるものである。

ABSTRACT

This thesis provides an explicit, general trace formula for the Hecke and Casimir eigenvalues of GL(2)-automorphic representations over a global field. In special cases, we obtain Selberg's original trace formula. Computations for the determinant of the scattering matrices, the residues of the Eisenstein series, etc. are provided. The first instance of a mixed, uniform Weyl law for every algebraic number field is given as standard application. "Mixed" means that automorphic forms with preassigned discrete series representation at a set of real places are counted. "Uniform" indicates that the estimates implicitly depend on the number field, but not on the congruence subgroup. The method of proof relies on a suitable partition of the cuspidal, automorphic spectrum, and the explication of the non-invariant Arthur trace formula via Bushnell and Kutzko's theory of types. A pseudo matrix coefficient for each local, square-integrable representation, i.e., the discrete series, the supercuspidal, or the Steinberg representation, is constructed explicitly.

研究の動機と目的

• グローバル体上のGL(2)-自己形式表現に対して、セリングの元来の公式を拡張する明示的で一般化されたトレース公式の開発。
• 散乱行列の行列式およびイーゼンスタイン級数の極の明示的計算。
• すべての代数的数体に対して、指定された実場における所定の離散系列を有する尖点形式を数える、初めての均一で混合型のウェイル法則の確立。
• タイプ理論を用いて、局所的平方可積分表現（離散系列、超臨界的、シュタインベルク）の明示的擬似行列係数の構成。
• タイプ理論と局所体上GL(2)における調和解析を用いた、精緻化されたアーバートのトレース公式を通じたスペクトル的および幾何的データの統合。

提案手法

• 非不変アーバートのトレース公式を適用し、BushnellおよびKutzkoのタイプ理論を用いてそれを精緻化し、スペクトル側を分解する。
• タイプ理論と明示的調和解析を用いて、局所的平方可積分表現の明示的擬似行列係数を構成する。
• GL(2, R)、GL(2, C)、および非アーチメデス的Fvに対して明示的調和解析を実施し、特徴方程式および分布を計算する。
• アベル変換および逆変換を用いて、軌道積分をスペクトルデータと関連づけ、特に双曲的、楕円的、放物的共役類に対して行う。
• スペクトルの精緻化を用いて、散乱行列のトレースおよびイーゼンスタイン級数の極の明示的公式を導出する。
• トレース公式を適用し、自動形式表現の漸近的数え上げ公式を導出し、混合ウェイル法則に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーバートのトレース公式を、スペクトル的および幾何的分布を含めて、グローバル体上のGL(2)に対してどのように明示的にすることができるか？
• RQ2 GL(2)自己形式の文脈において、散乱行列の行列式およびイーゼンスタイン級数の極の明示的公式は何か？
• RQ3 指定された実場における所定の離散系列を有する尖点形式を数えることにおいて、すべての代数的数体に対して一様で混合型のウェイル法則を確立できるか？
• RQ4 タイプ理論を用いて、局所的平方可積分表現（離散系列、超臨界的、シュタインベルク）の明示的擬似行列係数をどのように構成できるか？
• RQ5 合同部分群に依存しない一様な数え上げ推定を可能にする、トレース公式の正確なスペクトル的精緻化とは何か？

主な発見

• 本論文は、グローバル体上のGL(2)-自己形式表現に対する、初めての明示的で一般化されたトレース公式を提供し、特殊な場合にセリングのトレース公式を回復する。
• 深さゼロの超臨界的表現に対して、放物的分布はζ′_GL2(Fv)(1, φπ) = log(q)(q − 1)として計算され、不変ベクトル上のテレスコピング和から導出される。
• 深さゼロの超臨界的表現の楕円的分布は、γが分岐楕円的であればJγ(φπ) = 0、非分岐であればJγ(φπ) = −θ(λ1) − θ(λ2)となる。ここでλ1, λ2は特性多項式の根である。
• スペクトルの精緻化により、一様で混合型のウェイル法則が得られる：固定された実場における所定の離散系列を有する尖点形式の数え上げは、合同部分群に依存しない漸近的推定を伴う。
• 本手法により、自動形式表現の明示的次元公式および漸近的数え上げ結果が得られ、誤差項はレベルに依存せず、数体にのみ依存する。
• 局所体上GL(2)におけるタイプ理論および明示的調和解析を用いた擬似行列係数の構成により、完全なスペクトル分解とトレース公式の計算が可能になる。