[論文レビュー] Explicit Hopf-Galois description of $SL_{e^{2i\pi/3}}$-induced Frobenius homomorphisms

Ludwik Dąbrowski, Piotr M. Hajac+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、q = e^{2πi/3} のとき、量子群代数 A(SLq(2)) に対して A(SL(2,C))-線形な分解を明示的に構成し、A(SL(2,C)) が A(SLq(2)) の直接和成分であることを証明する。これにより、A(SLq(2)) が A(SL(2,C)) 上で忠実平坦なホップ＝ガロア拡大であることが示される。上三角量子ボレル部分群の二重交叉積構造におけるコycleおよびコアクションを計算し、明示的なクリービング写像を用いてクリフト拡大を確立し、立方根の単位根における構造の非自明性を示している。

ABSTRACT

The exact sequence of ``coordinate-ring'' Hopf algebras A(SL(2,C)) -> A(SL_q(2)) -> A(F) determined by the Frobenius map Fr, and the same way obtained exact sequence of (quantum) Borel subgroups, are studied when q is a cubic root of unity. An A(SL(2,C))-linear splitting of A(SL_q(2)) making A(SL(2,C)) a direct summand of A(SL_q(2)) is constructed and used to prove that A(SL_q(2)) is a faithfully flat A(F)-Galois extension of A(SL(2,C)). A cocycle and coaction determining the bicrossed-product structure of the upper-triangular (Borel) quantum subgroup of A(SL_q(2)) are computed explicitly.

研究の動機と目的

• q が原始的立方根の単位根であるとき、A(SLq(2)) の A(SL(2,C))-線形な明示的分裂写像を構成し、A(SL(2,C)) が直接和成分であることを保証すること。
• 構成された分裂写像を用いて、A(SLq(2)) が A(SL(2,C)) 上で忠実平坦なホップ＝ガロア拡大であることを証明すること。
• 上三角量子ボレル部分群の二重交叉積構造に対して、コycleおよび弱コアクションを明示的に計算すること。
• 有限量子群 F 及びその役割をフロベニウス準同型に与える影響を分析し、積分およびコ表現を含む。
• q = e^{2πi/3} のとき、量子平面の A(F)-余不変元の代数が C² 上の多項式代数に同型であることを示すこと。

提案手法

• ホモロジズムの条件を用いて、A(SL(2,C))-線形な分裂写像 s: A(SLq(2)) → A(SL(2,C)) を構成し、問題を適切な A(SL(2,C))-加群写像の特定に還元する。
• ホップ＝ガロア構造を検証するため、標準写像 can = (m ⊗id) ◦(id ⊗∆R) を用い、写像 ψ: P ⊗C P → P ⊗H の全単射性に依拠する。
• Borel量子部分群 P+ = A(SLq(2))/⟨c⟩ に対して、H+ = A(F)/⟨˜c⟩ とし、クリービング写像 Φ: H → P を定義し、関連するコycle σΦ および作用 h ⊲Φ b を畳み込み公式を用いて計算する。
• 標準的なクリフト拡大の道具立てを適用する：Φ が与えられたとき、コycle σΦ(h⊗l) = Φ(h(1))Φ(l(1))Φ⁻¹(h(2)l(2)) およびクロス積作用 h ⊲Φ b = Φ(h(1))bΦ⁻¹(h(2)) を導出する。
• コアクション ∆R p = p(0) ⊗ p(1) およびスウィードラーの記法を用いて、M(3,C) 上の A(F) のコ表現を計算し、余加群構造を符号化する行列 N を特定する。
• 注入的コモジュール写像が余不変元を保存することを示す補題を用い、Frobenius型写像 fr を用いて A(C²) ≅ A(C²_q)^{coA(F)} の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q が原始的立方根の単位根であるとき、A(SL(2,C))-線形な分裂写像を A(SLq(2)) に対して明示的に構成可能か？
• RQ2 この構成のもとで、A(SLq(2)) は A(SL(2,C)) 上で忠実平坦なホップ＝ガロア拡大か？
• RQ3 A(SLq(2)) のボレル量子部分群の明示的二重交叉積構造（コycleおよびコアクション）は何か？
• RQ4 q = e^{2πi/3} のとき、量子平面の積分および余不変元は、C² 上の古典的多項式代数とどのように関係するか？
• RQ5 有限量子群 A(F) の M(3,C) 上のコ表現の構造は何か？また、F の有限性はそれらにどのように反映されるか？

主な発見

• A(SL(2,C))-線形な A(SLq(2)) の明示的分裂写像が構成され、A(SL(2,C)) が A(SLq(2)) の直接和成分であることが証明された。
• 標準写像 can: A(SLq(2)) ⊗ A(SL(2,C)) A(SLq(2)) → A(SLq(2)) ⊗ A(F) は全単射であり、A(SLq(2)) が A(F)-ガロア拡大として A(SL(2,C)) 上で忠実平坦であることが確認された。
• Borel量子部分群に対して、家族 {Φν: H⁺ → P⁺} のクリービング写像が構成され、関連するコycle σΦ および作用 h ⊲Φ b が得られ、P⁺ がクリフトホップ＝ガロア拡大であることが証明された。
• コycle σΦ(h⊗l) = Φ(h(1))Φ(l(1))Φ⁻¹(h(2)l(2)) が明示的に計算され、二重交叉積構造が非自明であることが示された。
• A(C²_q) の A(F)-余不変元の代数は、古典的多項式代数 A(C²) に同型である、すなわち fr(A(C²)) = A(C²_q)^{coA(F)} が成り立つ。
• A(F) の M(3,C) 上のコ表現行列 N が明示的に計算され、可約であることが判明した。F の有限性に起因し、2つの特異な既約成分 N₁ および N₂ が生じた。