[論文レビュー] Explicit identities for Lévy processes associated to symmetric stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo+1 more|ArXiv.org|Nov 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称安定過程をLamperti変換により導出した超幾何安定Lévy過程——Lévy過程の一種——を導入する。この過程は、Gauss超幾何関数を含む。Lévy測度を特徴づけ、Wiener–Hopf分解を導出し、径方向過程の最初の通過時および最後の通過時の連関係分布を明示的に特定する。主な結果として、多変数密度関数および超幾何関数を用いたポテンシャル核が得られる。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new class of Lévy processes which we call hypergeometric-stable Lévy processes, because they are obtained from symmetric stable processes through several transformations and where the Gauss hypergeometric function plays an essential role. We characterize the Lévy measure of this class and obtain several useful properties such as the Wiener Hopf factorization, the characteristic exponent and some associated exit problems.

研究の動機と目的

• 対称安定過程をLampertiの表現を用いて導出した、新たなLévy過程のクラス——超幾何安定Lévy過程——を定義し、その特徴づけを行うこと。
• これらの過程のLévy測度を特定し、区間における正則性およびスケーリング性を含むパスの性質を確立すること。
• 径方向過程に関連するLévy過程の最初の到達時および最後の通過時に関する明示的なWiener–Hopf分解および連関係分布を導出すること。
• (-∞,0) に到達した時点で停止するLévy過程のポテンシャル核を、Gauss超幾何関数を含む積分表現で計算すること。

提案手法

• 対称安定Lévy過程の径方向過程 $ R_t = \|Z_t\| $ にLamperti変換を適用し、Lévy過程 $ \xi $ を構成する。ここで $ R_t = x \exp(\xi_{\tau(t x^{-\alpha})}) $ であり、$ \tau $ は $ \xi $ の指数的関数の局所時刻の逆関数である。
• 径方向過程のスケーリング性および自己相似性とLamperti表現を用いて、得られた超幾何安定Lévy過程のLévy測度を特徴づける。
• Lamperti表現とLévy過程のフラクチュエーション理論、特に最後の通過時および最初の到達時の概念を用いることで、Wiener–Hopf分解を導出する。
• KyprianouらおよびMillarの結果を用いて、最後の通過時における四重法則の連関係密度関数を導出する。密度式にはGauss超幾何関数 $ {}_2\mathcal{F}_1 $ が含まれる。
• (-∞,0) に到達した時点で停止するLévy過程のポテンシャル核は、$ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $ および $ (e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ を含む積分表現により計算され、最終的な式には超幾何関数が現れる。
• 径方向過程のポテンシャル測度は、$ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = \mathbb{E}_{\log x}[\int_0^{T_0^-} e^{\alpha \xi_t} dt] $ を用いた時間変換により導出され、$ u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} $ を含むベータ型積分となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称安定過程から導出される超幾何安定Lévy過程のLévy測度の明示的形は何か？
• RQ2 対称安定Lévy過程の径方向部分に関連するLévy過程に対して、Wiener–Hopf分解をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 径方向過程およびその関連Lévy過程の最後の通過時、将来の下界、およびオーバーシュートの連関係分布は何か？
• RQ4 (-∞,0) に到達した時点で停止するLévy過程のポテンシャル核は何か？また、特殊関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 1に到達した時点で停止する径方向過程のポテンシャル測度は、元のLévy過程のポテンシャル核とどのように関係するか？

主な発見

• 超幾何安定Lévy過程のLévy測度は、Gauss超幾何関数 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; \cdot \right) $ を含む密度関数で特徴づけられ、正規化定数はガンマ関数と $ \sin(\alpha\pi/2) $ を含む。
• Lévy過程 $ \xi $ の最後の通過時における四重法則が導出され、連関係密度関数には $ (e^{2v} - 1)^{\alpha/2 - 1} $、$ (e^{2(w - u)} - 1)^{\alpha/2 - 1} $、$ (1 - e^{-2(x + v - y)})^{\alpha/2 - 1} $ が含まれ、これらはすべて超幾何関数と乗じられている。
• (-∞,0) に到達した時点で停止するLévy過程のポテンシャル核は、$ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $、$ e^{(2 - d)z}(e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $、および $ f $ の引数のシフトを含む二重積分として表現され、定数 $ k $ と $ \Gamma(\alpha/2)^{-2} $ を含む正規化が施されている。
• 1に到達した時点で停止する径方向過程 $ R $ の最初の通過時ポテンシャルは、$ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = k \frac{x^\alpha}{2\Gamma(\alpha)} \int_{x^{-2}}^1 u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} du $ として与えられ、ベータ型積分である。
• $(1/F_0, R_{L_b-}, R_{L_b}, F_{L_b})$ の連関係密度関数は四重法則として導出され、$ v^{1 - d} $、$ yw^{1 - d - \alpha} $、$ u^{d - \alpha - 1} $、$ (y^2 - (bv)^{-2})^{\alpha/2 - 1} $ を含み、超幾何関数 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; (y/bw)^2\right) $ が密度式に現れる。