[論文レビュー] Explicit inversion formulas for the spherical mean Radon transform

Leonid Kunyansky|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、球面平均ラドン変換の明示的閉形式の逆変換公式を提示し、周囲の球面上に中心を持つ球面上の積分から関数の再構成を可能にする。この手法は、すべての次元 n ≥ 2 で有効なフィルタリング-バックプロジェクション法であり、偶数次元の場合の新しい公式と、一般の取得表面における級数解を提供し、熱的・光音響トモグラフィーへの応用において顕著な進展をもたらす。

ABSTRACT

We derive explicit formulas for the reconstruction of a function from its integrals over a family of spheres, or for the inversion of the spherical mean Radon transform. Such formulas are important for problems of thermo- and photo- acoustic tomography. A closed-form inversion formula of a filtration-backprojection type is found for the case when the centers of the integration spheres lie on a sphere in Rn surrounding the support of the unknown function. An explicit series solution is presented for the case when the centers of the integration spheres lie on a general closed surface.

研究の動機と目的

• コンpactに台を持つ関数を、その球面平均からの再構成のための明示的逆変換公式を開発すること。
• 偶数次元空間における閉形式のバックプロジェクション型公式の欠如に対処すること。
• 球面平均変換の逆変換における球面的および一般の取得幾何構造を統一的に扱うフレームワークを提供すること。
• 解析的に取り扱える逆変換手法を提供することで、熱的・光音響トモグラフィーにおける実用的再構成を支援すること。

提案手法

• ベッセル関数とフーリエ変換を用いた関数の積分表現を導出する。
• n次元空間におけるヘルムホルツ方程式の解と、ハンケル関数を用いたグリーン関数を利用する。
• 球面調和関数の展開と直交性を用いて、積分核の対称性を導出する。
• フィルタリング済みデータと球面へのバックプロジェクションを組み合わせることで、フィルタリング-バックプロジェクション公式を構築する。
• 固有関数展開を用いて、一般の閉じた取得表面に対して級数解を確立する。
• 球面調和基底における係数解析を通じて、積分作用素 I(x,y) の対称性を立証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元空間における球面平均ラドン変換に対して、フィルタリング-バックプロジェクション型の閉形式逆変換公式を導出できるか？
• RQ2 積分球の中心が関数の台を囲む閉じた表面に位置する場合、球面平均変換はどのように逆変換可能か？
• RQ3 逆変換作用素の数学的構造は何か？また、安定な再構成に必要な対称性を満たしているか？
• RQ4 すべての次元 n ≥ 2 に適用可能な球面平均変換の明示的公式を構築できるか？
• RQ5 ベッセル関数と球面調和関数は、安定で明示的な逆変換スキームを導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• すべての次元 n ≥ 2 において、球面平均ラドン変換の閉形式フィルタリング-バックプロジェクション逆変換公式が導出され、これまで未解決であった偶数次元のケースを含む。
• 積分球の中心が関数の台を囲む球面上に位置する場合に、公式が有効であり、安定的かつ明示的な再構成が可能である。
• 球面調和関数展開と固有関数分解を用いて、中心が一般の閉じた表面にある場合の級数解が構築された。
• 球面調和基底における係数解析を通じて、積分作用素 I(x,y) = I(y,x) の対称性が厳密に証明された。
• 球面上でのベッセル関数およびノイマン関数の積分に関する明示的表現が導出され、解析的逆変換が可能になった。
• 本手法は、解析的に取り扱える非反復的アルゴリズムを提供するため、熱的・光音響トモグラフィーにおける実用的再構成の理論的基盤を提供する。