[論文レビュー] Explicit $L^2$ bounds for the Riemann $\zeta$ function

Daniele Dona, H. A. Helfgott+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数 $\zeta(s)$ の垂直線 $\Re(s) = \sigma$ における尾部の明示的かつ鋭い $L^2$ 界を、2つの補完的手段を用いて導出する。1つはメリン変換等長性に基づくもので、もう1つはオイラー＝マクローリン和公式を用いるものである。主な貢献は、解析的数論における非有界積分の厳密な数値評価に不可欠な、$\int_T^\infty |\zeta(\sigma + it)|^2 / |\sigma + it|^2 \, dt$ の明示的かつ数値的に検証可能な界のセットである。$0 < \sigma \leq 1$ に対して、誤差項の改善と漸近的精度の向上が図られており、$T \geq 4$ に対して有効であり、大 $T$ に対して最適化されている。明示的定数は ARB と Sage を用いた区間演算により導出された。

ABSTRACT

Explicit bounds on the tails of the zeta function $\zeta$ are needed for applications, notably for integrals involving $\zeta$ on vertical lines or other paths going to infinity. Here we bound weighted $L^2$ norms of tails of $\zeta$. Two approaches are followed, each giving the better result on a different range. The first one is inspired by the proof of the standard mean value theorem for Dirichlet polynomials. The second approach, superior for large $T$, is based on classical lines, starting with an approximation to $\zeta$ via Euler-Maclaurin. Both bounds give main terms of the correct order for $0<\sigma\leq 1$ and are strong enough to be of practical use for the rigorous computation of improper integrals. We also present bounds for the $L^{2}$ norm of $\zeta$ in $[1,T]$ for $0\leq\sigma\leq 1$.

研究の動機と目的

• 解析的数論における非有界積分の厳密な数値計算を支援するため、$0 < \sigma \leq 1$ に対して、垂直線 $\Re(s) = \sigma$ 上での $\zeta(s)$ の $L^2$-ノルムの尾部に対する明示的かつ数値的に検証可能な界を提供すること。
• 特に、積の形をとるゼータ関数を含む積分の評価に用いられる、逆メリン変換などの応用における有効な界の必要性に対応すること。
• 既存の凸性および部分凸性界を上回る、明示的定数を伴うより強い $L^2$-ノルム推定値を提供すること。特に $T$ が大きい場合に有効である。
• 導出過程および誤差推定において、ARB ライブラリを用いた区間演算を用いることで、数値的厳密性を保証すること。

提案手法

• 最初の手法では、メリン変換の等長性を用いて、$[T, \infty)$ 上での $\zeta(\sigma + it)$ の $L^2$-ノルムを界付け、$0 < \sigma \leq 1$ に対して正しい主要項のオーダーが得られる。
• 2番目の手法では、オイラー＝マクローリン和公式を用いて $\zeta(\sigma + it)$ を近似し、積分の上界評価により尾部の $L^2$-ノルムを精密に推定する。
• $\sigma = 1/2$ の場合、アトキンソンの公式およびリーマン＝シーゲルの公式に知られた結果を活用し、キャンセルの効果に依存せずにすべての項を推定する。
• $\sigma < 1/2$ の場合、$\zeta(s)$ の関数等式を用いて $\zeta(\sigma + it)$ を $\zeta(1 - \sigma - it)$ に結びつけ、$\sigma > 1/2$ の領域における界を移転可能にする。
• ベルヌーイ多項式およびその導関数の明示的界を用いて誤差項を制御し、既知のゼータ関数値および特殊関数に基づく定数を導出する。
• すべての界は、ARB ライブラリを用いた区間演算により検証されており、数値的厳密性と明示的誤差制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < \sigma \leq 1$ および大きな $T$ に対して、$\int_T^\infty |\zeta(\sigma + it)|^2 / |\sigma + it|^2 \, dt$ の最も鋭い明示的 $L^2$ 界は何か？
• RQ2 オイラー＝マクローリンおよびメリン変換技法を用いて、$\zeta(\sigma + it)$ の $[T, \infty)$ 上での $L^2$-ノルムを、明示的定数を伴ってどのように界付けることができるか？
• RQ3 区間演算を用いることで、$\zeta(\sigma + it)$ の $L^2$-ノルム推定における誤差項を明示的かつ数値的に検証可能にできるか？
• RQ4 各場合における2番目の界（定理 4.6 より）が、1番目の界（定理 3.1 より）を上回るようになるのはどの $T$ の値か？また、この閾値は $\sigma$ に依存してどのように変化するか？
• RQ5 既知の近似関数等式やリーマン＝シーゲルの公式をどれほど明示的にできるか。これにより $L^2$-ノルム界がどの程度改善できるか？

主な発見

• $\sigma = 1$ の場合、$T \geq 200$ に対して、$\int_T^\infty |\zeta(1 + it)|^2 / |1 + it|^2 \, dt$ は $\frac{\pi^2}{6T} + \frac{28.29 \log T}{T^2}$ で界付けられ、主要項は既知の留数寄与と一致する。
• $\frac{1}{2} < \sigma < 1$ の場合、$T \geq 200$ に対して、$\frac{3\pi \zeta(2\sigma)}{5T} + \left(18.98 - \frac{0.61}{\sigma - \frac{1}{2}} \right) \frac{1}{T^{2\sigma}}$ が成り立ち、漸近的に第2項が支配的である。
• $\sigma = \frac{1}{2}$ の場合、$T \geq 200$ に対して $\frac{3\pi}{5} \frac{1}{T} \log T + \frac{7.72}{T}$ が成り立つが、$T \geq 10^{40}$ では $\frac{1}{T} \log T + \frac{9.19 \sqrt{1}}{T}$ に改善され、強い漸近的制御が得られる。
• $0 < \sigma < \frac{1}{2}$ の場合、$T \geq 200$ に対して $\left(\frac{0.5}{\sigma} + \frac{0.95}{\frac{1}{2} - \sigma} + 5.62 \right) \frac{1}{T^{2\sigma}} - 2.55 \zeta(2\sigma) \frac{1}{T}$ が有効であり、$T \to \infty$ のとき第1項が支配的である。
• $\sigma = 0$ の場合、積分は発散する。主項が $\frac{\pi^2}{12} \log T$ のように振る舞うため、収束のためには $\sigma > 0$ が必要であることが確認される。
• 2番目の界が1番目の界を上回る閾値は明示的に計算された。例えば $\sigma = 0.59$ の場合、切り替えは $T \approx 297$ で発生し、$\sigma = 0.45$ の場合、$T \approx 1.43 \times 10^{20}$ で発生する。これにより、改善された界の実用的有用性が示された。