[論文レビュー] Explicit lower bounds on strong simulation of quantum circuits in terms of $T$-gate count

Cupjin Huang, Michael Newman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3-SATを量子回路シミュレーションに還元することにより、Clifford+T量子回路の強シミュレーションに要する古典的時間の明示的下界を確立する。もし古典的シミュレータがN Tゲートをもつこのような回路の非ゼロ振幅問題をO(2^{2.2451×10^{-8}N})時間で解けるならば、それは現在知られている最良の3-SATソルバーを上回ることになり、指数的時間仮説（Exponential Time Hypothesis）のもとでは、古典的計算複雑性理論における画期的進展を意味する。

ABSTRACT

We investigate Clifford+$T$ quantum circuits with a small number of $T$-gates. Using the sparsification lemma, we identify time complexity lower bounds in terms of $T$-gate count below which a strong simulator would improve on the state-of-the-art $3$-SAT solving.

研究の動機と目的

• Clifford+T量子回路の強シミュレーションに要する明示的な古典的時間下界を確立すること。
• 指数的時間仮説（ETH）のもとで、量子回路シミュレーションの効率と3-SATの解法の難易度を関連付けること。
• Tカウントに制限された回路に対する高速な古典的シミュレータが存在するならば、3-SATの解法に画期的進展がもたらされることを定量的に示すこと。
• 明示的な定数を用いたスパース化補題（Sparsification Lemma）を精緻化し、3-SATを量子回路シミュレーションに正確に還元可能にするための基盤を提供すること。

提案手法

• 3-SATのインスタンスを、式が充足可能である場合に限り出力振幅が非ゼロとなるClifford+T量子回路に還元する。
• スパース化補題を用いて、n 個の変数をもつ3-SATインスタンスを、長さがnに比例するスパースインスタンスのリストに変換し、充足可能性を保存する。
• 太陽花（sunflower）に基づく再帰的還元を用いて、生成されるスパース部分インスタンスの数を抑え、パラメータθ₁とθ₂を最適化して指数的成長を最小限に抑える。
• スパース化補題からの明示的定数を用い、量子回路におけるTゲート数Nと3-SAT式長Lとの関係を明確に定式化する。
• 還元されたすべての回路のシミュレーションを組み合わせることで、古典的3-SATソルバーを構築し、その実行時間はTゲート数と部分インスタンス数に依存する。
• Tゲート数と3-SAT式長の逆関係を用いて、シミュレーション時間の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的時間仮説のもとで、Tゲート数に関して指数的でない時間でClifford+T回路の強シミュレーションが可能かどうか？
• RQ2 シミュレーション時間に現れるどの明示的定数が、3-SATの解法における画期的進展を意味するか？
• RQ3 明示的な定数を用いたスパース化補題をどのように3-SATから量子回路シミュレーションに還元に応用できるか？
• RQ4 どの最小のTゲート数において、古典的シミュレータが現在知られている最良の3-SATソルバーを上回るようになるか？

主な発見

• 指数的時間仮説のもとでは、N 個のTゲートをもつClifford+T回路の強シミュレータは、あるε > 0 に対して、少なくとも2^{εN}の時間が必要である。
• もし古典的シミュレータがN 個のTゲートをもつ回路の非ゼロ振幅問題をO(2^{2.2451×10^{-8}N})時間で解けるならば、m = poly(n) 個の節子をもつ3-SATに対してO(1.3^n)の実行時間で解けることになる。
• 最適化されたパラメータθ₁ = 109.395とθ₂ = 58367.2を用いたスパース化補題により、部分インスタンスのリスト長は2^{γ(θ₁,θ₂)n}以下となる。ここで、γ(θ₁,θ₂) ≤ 4θ₁H(1/(4θ₁²) + 1/θ₂) が成り立つ。
• 導出された3-SATソルバーの総実行時間は2^{3.1432×10^{-7}(η(θ₁,θ₂) + γ(θ₁,θ₂))n}以下であり、これはo(1.3^n)であるため、現在の最良の3-SATソルバーを上回る。
• 3-SATから量子回路シミュレーションへの還元において、回路内のToffoliゲート数は2L以下である（Lは3-SAT式の長さ）。
• 構成により、量子回路は3-SAT式の真理値を制御出力として計算し、シミュレーションが非ゼロ振幅を検出可能であることが保証される。